Объем призмы — Гипермаркет знаний. Н.Никитин Геометрия

Начертим отдельно основание призмы, т. е. треугольник АBС (рис. 307, а), и достроим его до прямоугольника, для чего через вершину В проведём прямую КМ || АС и из точек A и С опустим на эту прямую перпендикуляры АF и СЕ. Получим прямоугольник АСЕF. Проведя высоту ВD треугольника АBС, увидим, что прямоугольник АСЕF разбился на 4 прямоугольных треугольника. Причём \(\Delta\)ВСЕ = \(\Delta\)BCD и \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Значит, площадь прямоугольника АСЕF вдвое больше площади треугольника АBС, т. е. равна 2S.

К данной призме с основанием АBС пристроим призмы с основаниями ВСЕ и BАF и высотой h (рис. 307, б). Получим прямоугольный параллелепипед с основанием АСЕF.

Если этот параллелепипед рассечём плоскостью, проходящей через прямые BD и BB’, то увидим, что прямоугольный параллелепипед состоит из 4 призм с основаниями BCD, ВСЕ, BАD и BAF.

Призмы с основаниями BCD и ВСЕ могут быть совмещены, так как основания их равны (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BСЕ) и также равны их боковые рёбра, являющиеся перпендикулярами к одной плоскости. Значит, объёмы этих призм равны. Также равны объёмы призм с основаниями BАD и BАF.

Таким образом, оказывается, что объём данной треугольной призмы с основанием АBС вдвое меньше объёма прямоугольного параллелепипеда с основанием АСЕF.

Нам известно, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту, т. е. в данном случае равен 2Sh . Отсюда объём данной прямой треугольной призмы равен Sh .

Объём прямой треугольной призмы равен произведению площади её основания на высоту.

2. Объём прямой многоугольной призмы.

Обозначив площади основания треугольных призм через S 1 , S 2 и S 3 , а объём данной многоугольной призмы через V, получим:

V = S 1 h + S 2 h + S 3 h , или

V = (S 1 + S 2 + S 3)h .

И окончательно: V = Sh .

Таким же путём выводится формула объема прямой призмы, имеющей в основании любой многоугольник.

Значит, объём любой прямой призмы равен произведению площади её основания на высоту.

Объём призмы

Теорема. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Сначала докажем эту теорему для треугольной призмы, а потом и для многоугольной.

1) Проведём (черт. 95) через ребро AA 1 треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 плоскость, параллельную грани ВВ 1 С 1 С, а через ребро СС 1 - плоскость, параллельную грани AA 1 B 1 B; затем продолжим плоскости обоих оснований призмы до пересечения с проведёнными плоскостями.

Тогда мы получим параллелепипед BD 1 , который диагональной плоскостью АА 1 С 1 С делится на две треугольные призмы (из них одна есть данная). Докажем, что эти призмы равновелики. Для этого проведём перпендикулярное сечение abcd . В сечении получится параллелограмм, который диагональю ас делится на два равных треугольника. Данная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание есть \(\Delta\)аbc , а высота - ребро АА 1 . Другая треугольная призма равновелика такой прямой, у которой основание есть \(\Delta\)аdс , а высота - ребро АА 1 . Но две прямые призмы с равными основаниями и равными высотами равны (потому что при вложении они совмещаются), значит, призмы АВСА 1 В 1 С 1 и ADCA 1 D 1 C 1 равновелики. Из этого следует, что объём данной призмы составляет половину объёма параллелепипеда BD 1 ; поэтому, обозначив высоту призмы через H, получим:

$$ V_{\Delta пр.} = \frac{S_{ABCD}\cdot H}{2} = \frac{S_{ABCD}}{2}\cdot H = S_{ABC}\cdot H $$

2) Проведём через ребро АА 1 многоугольной призмы (черт. 96) диагональные плоскости АА 1 С 1 С и AA 1 D 1 D.

Тогда данная призма рассечётся на несколько треугольных призм. Сумма объёмов этих призм составляет искомый объём. Если обозначим площади их оснований через b 1 , b 2 , b 3 , а общую высоту через Н, то получим:

объём многоугольной призмы = b 1 H +b 2 H + b 3 H =(b 1 + b 2 + b 3) H =

= (площади ABCDE) H.

Следствие. Если V, В и Н будут числа, выражающие в соответствующих единицах объём, площадь основания и высоту призмы, то, по доказанному, можно написать:

Школьникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, обязательно стоит научиться решать задачи на нахождение площади прямой и правильной призмы. Многолетняя практика подтверждает тот факт, что подобные задания по геометрии многие учащиеся считают достаточно сложными.

При этом уметь находить площадь и объем правильной и прямой призмы должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Основные моменты, которые стоит запомнить

• Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, она называется прямой. Все боковые грани этой фигуры являются прямоугольниками. Высота прямой призмы совпадает с ее ребром.
• Правильной является призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию, в котором находится правильный многоугольник. Боковые грани этой фигуры - равные прямоугольники. Правильная призма всегда является прямой.

Подготовка к единому госэкзамену вместе со «Школково» - залог вашего успеха!

Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь представлен весь необходимый материал, который поможет подготовиться к прохождению аттестационного испытания.

Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы, теоремы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.

Базовая информация систематизирована и понятно изложена в разделе «Теоретическая справка». Если вы уже успели повторить необходимый материал, рекомендуем вам попрактиковаться в решении задач на нахождение площади и объема прямой призмы. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений различной степени сложности.

Попробуйте рассчитать площадь прямой и правильной призмы или прямо сейчас. Разберите любое задание. Если оно не вызвало сложностей, можете смело переходить к упражнениям экспертного уровня. А если определенные трудности все же возникли, рекомендуем вам регулярно готовиться к ЕГЭ в онлайн-режиме вместе с математическим порталом «Школково», и задачи по теме «Прямая и правильная призма» будут даваться вам легко.

В физике треугольная призма, сделанная из стекла, часто используется для изучения спектра белого света, поскольку она способна разлагать его на отдельные составляющие. В данной статье рассмотрим формулу объема

Что такое треугольная призма?

Перед тем как приводить формулу объема рассмотрим свойства этой фигуры.

Чтобы получить этот необходимо взять треугольник произвольной формы и параллельно самому себе перенести его на некоторое расстояние. Вершины треугольника в начальном и конечном положении следует соединить прямыми отрезками. Полученная объемная фигура называется треугольной призмой. Она состоит из пяти сторон. Две из них называются основаниями: они параллельны и равны друг другу. Основаниями рассматриваемой призмы являются треугольники. Три оставшиеся стороны - это параллелограммы.

Помимо сторон, рассматриваемая призма характеризуется шестью вершинами (по три для каждого основания) и девятью ребрами (6 ребер лежат в плоскостях оснований и 3 ребра образованы пересечением боковых сторон). Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то такая призма называется прямоугольной.

Отличие треугольной призмы от всех остальных фигур этого класса заключается в том, что она всегда является выпуклой (четырех-, пяти-, ..., n-угольные призмы могут также быть вогнутыми).

Это прямоугольная фигура, в основании которой лежит равносторонний треугольник.

Объем треугольной призмы общего типа

Как найти объем треугольной призмы? Формула в общем виде аналогична таковой для призмы любого вида. Она имеет такую математическую запись:

Здесь h - это высота фигуры, то есть расстояние между ее основаниями, S o - площадь треугольника.

Величину S o можно найти, если известны некоторые параметры для треугольника, например одна его сторона и два угла или две стороны и один угол. Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на длину стороны, на которую опущена эта высота.

Что касается высоты h фигуры, то ее проще всего найти для прямоугольной призмы. В последнем случае h совпадает с длиной бокового ребра.

Объем правильной треугольной призмы

Общую формулу объема треугольной призмы, которая приведена в предыдущем разделе статьи, можно использовать для вычисления соответствующей величины для правильной треугольной призмы. Поскольку в ее основании лежит равносторонний треугольник, то его площадь равна:

Эту формулу может получить каждый, если вспомнит, что в равностороннем треугольнике все углы равны друг другу и составляют 60 o . Здесь символ a - это длина стороны треугольника.

Высота h является длиной ребра. Она никак не связана с основанием правильной призмы и может принимать произвольные значения. В итоге формула объема треугольной призмы правильного вида выглядит так:

Вычислив корень, можно переписать эту формулу так:

Таким образом, чтобы найти объем правильной призмы с треугольным основанием, необходимо возвести в квадрат сторону основания, умножить эту величину на высоту и полученное значение умножить на 0,433.

ПРЯМАЯ ПРИЗМА. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ.

§ 68. ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ.

1. Объём прямой треугольной призмы.

Пусть требуется найти объём прямой треугольной призмы, площадь основания которой равна S, а высота равна h = АА" = = ВВ" = СС" (черт. 306).

Начертим отдельно основание призмы, т. е. треугольник АBС (черт. 307, а), и достроим его до прямоугольника, для чего через вершину В проведём прямую КМ || АС и из точек A и С опустим на эту прямую перпендикуляры АF и СЕ. Получим прямоугольник АСЕF. Проведя высоту ВD треугольника АBС, увидим, что прямоугольник АСЕF разбился на 4 прямоугольных треугольника. Причём /\ ВСЕ = /\ BCD и /\ ВАF = /\ ВАD. Значит, площадь прямоугольника АСЕF вдвое больше площади треугольника АBС, т. е. равна 2S.

К данной призме с основанием АBС пристроим призмы с основаниями ВСЕ и BАF и высотой h (черт. 307, б). Получим прямоугольный параллелепипед с основанием
АСЕF.

Если этот параллелепипед рассечём плоскостью, проходящей через прямые BD и ВВ", то увидим, что прямоугольный параллелепипед состоит из 4 призм с основаниями
ВСD, ВСЕ, BАD и ВАF.

Призмы с основаниями ВСD и ВСЕ могут быть совмещены, так как основания их равны (/\ ВСD = /\ BСЕ) и также равны их боковые рёбра, являющиеся перпендикулярами к одной плоскости. Значит, объёмы этих призм равны. Также равны объёмы призм с основаниями BАD и BАF.

Таким образом, оказывается, что объём данной треугольной призмы с основанием
АBС вдвое меньше объёма прямоугольного параллелепипеда с основанием АСЕF.

Нам известно, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту, т. е. в данном случае равен 2Sh . Отсюда объём данной прямой треугольной призмы равен Sh .

Объём прямой треугольной призмы равен произведению площади её основания на высоту.

2. Объём прямой многоугольной призмы.

Чтобы найти объём прямой многоугольной призмы, например пятиугольной, с площадью основания S и высотой h , разобьём её на треугольные призмы (черт. 308).

Обозначив площади основания треугольных призм через S 1 , S 2 и S 3 , а объём данной многоугольной призмы через V, получим:

V = S 1 h + S 2 h + S 3 h , или
V = (S 1 + S 2 + S 3)h .

И окончательно: V = Sh .

Таким же путём выводится формула объема прямой призмы, имеющей в основании любой многоугольник.

Значит, объём любой прямой призмы равен произведению площади её основания на высоту.

Упражнения.

1. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании параллелограмм, по следующим данным:

2. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании треугольник, по следующим данным:

3. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании равносторонний треугольник со стороной в 12 см (32 см, 40 см). Высота призмы 60 см.

4. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании прямоугольный треугольник с катетами в 12 см и 8 см (16 см и 7 см; 9 м и 6 м). Высота призмы 0,3 м.

5. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании трапецию с параллельными сторонами в 18 см и 14 см и высотой в 7,5 см. Высота призмы 40 см.

6. Вычислить объём вашей классной комнаты (физкультурного зала, своей комнаты).

7. Полная поверхность куба равна 150 см 2 (294 см 2 , 864 см 2). Вычислить объём этого куба.

8. Длина строительного кирпича - 25,0 см, ширина его - 12,0 см толщина - 6,5 см. а) Вычислить его объём, б) Определить его вес, если 1 кубический сантиметр кирпича весит 1,6 г.

9. Сколько штук строительного кирпича потребуется для постройки сплошной кирпичной стены, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда длиной в 12 м, шириной в 0,6 м и высотой в 10м? (Размеры кирпича из упражнения 8.)

10. Длина чисто обрезаной доски равна 4,5 м, ширина - 35 см толщина - 6 см. а) Вычислить объем б) Определить её вес, если кубический дециметр доски весит 0,6 кг.

11. Сколько тонн сена можно уложить в сеновал, покрытый двускатной крышей (черт. 309), если длина сеновала равна 12 м, ширина - 8 м, высота - 3,5 м и высота конька крыши равна 1,5 м? (Удельный вес сена принять за 0,2.)

12. Требуется выкопать канаву длиной 0,8 км; в разрезе канава должна иметь форму трапеции с основаниями в 0,9 м и 0,4 м, и глубина канавы должна равняться 0,5 м (черт. 310). Сколько кубометров земли придется при этом вынуть?

Чему равен объем призмы и как его найти

Объём призмы - это произведение площади ее основания на высоту.

Однако нам известно, что у основания призмы может быть треугольник, квадрат или какой-либо другой многогранник.

Следовательно, для нахождения объема призмы, необходимо просто вычислить площадь основания призмы, а потом эту площадь умножить на ее высоту.

То есть, если у основания призмы треугольник, то значит вначале нужно найти площадь треугольника. Если же основанием призмы является квадрат или другой многоугольник, то значит вначале нужно искать площадь квадрата или же другого многоугольника.

Следует помнить, что высотой призмы является перпендикуляр, проведенный к основаниям призмы.

Что такое призма

А теперь давайте вспомним определение призмы.

Призма – это многоугольник, две грани (основания) которого, находятся в параллельных плоскостях, а все ребра, находящиеся вне этих граней параллельны.

Если говорить проще, то:

Призма – это любая геометрическая фигура, которая имеет два основания, равных между собой и плоские грани.

Название призмы зависит от формы ее основания. Когда основанием призмы является треугольник, то такую призму называют треугольной. Многогранной призмой называют геометрическую фигуру, основанием которой является многогранник. Также призма - это разновидность цилиндра.

Каких видов бывают призмы

Если мы посмотрим на рисунок вверху, то увидим, что призмы бывают прямыми, правильными и наклонными.

Задание

1. Какую призму называют правильной?
2. Почему она так называется?
3. Какое носит название призма, основаниями которой являются правильные многоугольники?
4. Что является высотой этой фигуры?
5. Как называют призму, ребра которой не являются перпендикулярными?
6. Дайте определение треугольной призме.
7. Может ли призма быть параллелепипедом?
8. Какая геометрическая фигура называется полуправильным многоугольником?

Из каких элементов состоит призма

Призма состоит из таких элементов, как нижнее и верхнее основание, боковые грани, ребра и вершины.

Оба основания призмы лежат в плоскостях и параллельны друг другу.
Боковые грани пирамиды – это параллелограммы.
Боковая поверхность пирамиды является суммой боковых граней.
Общие стороны боковых граней, есть не что иное, как боковые ребра данной фигуры.
Высотой пирамиды является отрезок, соединяющий плоскости оснований и перпендикулярен им.

Свойства призмы

Геометрическая фигура, как призма, обладает рядом свойств. Давайте более подробно рассмотрим эти свойства:

Во-первых, основаниями призмы называются равные многоугольники;
Во-вторых, у призмы боковые грани представлены в виде параллелограмма;
В-третьих, у этой геометрической фигуры ребра параллельны и равны;
В-четвертых, площадью полной поверхности призмы является:

А теперь рассмотрим теорему, которая предоставляет формулу, с помощью которой вычисляют площадь боковой поверхности и доказательство.

Задумывались ли вы над таким интересным фактом, что призмой может быть не только, геометрическое тело, но и другие окружающие нас предметы. Даже обычная снежинка в зависимости от температурного режима может превратиться в ледяную призму, приняв форму шестигранной фигуры.

А вот кристаллы кальцита обладают таким уникальным явлением, как распадаться на осколки и приобретать форму параллелепипеда. И что самое удивительное, на какие бы мелкие части не дробили кристаллы кальцита, результат всегда одинаковый, они превращаются в махонькие параллелепипеды.

Оказывается, призма получила популярность не только в математике, демонстрируя свое геометрическое тело, но и в области искусства, так как она является основой картин, созданных такими великими художниками, как П.Пикассо, Брак, Грисс и других.