Дифракционная картина, наблюдающаяся для микрочастиц, характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц в различных направлениях - имеются минимумы и максимумы в других направлениях. Наличие максимумов в дифракционной картине означает, что в этих направлениях распределяются волны де Бройля с наибольшей интенсивностью. А интенсивность будет максимальной, если в этом направлении распространяется максимальное число частиц. Т.е. дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности в распределении частиц: где интенсивность волны де Бройля максимальная, там и частиц больше.

Волны де Бройля в квантовой механике рассматриваются как волны вероятности, т.е. вероятность обнаружить частицу в различных точках пространства меняется по волновому закону (т.е. е - iωt ). Но для некоторых точек пространства такая вероятность будет отрицательной (т.е. частица не попадает в эту область). М. Борн (немецкий физик) предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а амплитуда вероятности, которую также называют волновой функцией или -функцией (пси - функцией).

Волновая функция - функция координат и времени.

Квадрат модуля пси-функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV - физический смысл имеет не сама пси-функция, а квадрат ее модуля.

Ψ * - функция комплексно сопряженная с Ψ

(z = a +ib, z * =a- ib, z * - комплексно сопряженное)

Если частица находится в конечном объеме V, то возможность обнаружить ее в этом объеме равна 1, (достоверное событие)

Р = 1 

В квантовой механике принимается, что Ψ и АΨ, где А = const , описывают одно и то же состояние частицы. Следовательно,

Условие нормировки

интеграл по , означает, что он вычисляется по безграничному объему (пронстранству).

 - функция должна быть

1) конечной (так как Р не может быть больше1),

2) однозначной (нельзя обнаружить частицу при неизменных условиях с вероятностью допустим 0,01 и 0,9, так как вероятность должна быть однозначной).

непрерывной (следует из неприрывности пространства. Всегда имеется вероятность обнаружить частицу в разных точках пространства, но для разных точек она будет разная),

Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции : если система может находится в различных состояниях, описываемых волновыми функциями  1 , 2 ... n , то она может находится в состоянии , описываемой линейной комбинаций этих функций:

С n (n=1,2...) - любые числа.

С помощью волновой функции вычисляются средние значения любой физической величины частицы

§5 Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера, как и другие основные уравнения физики (уравнения Ньютона, Максвелла), не выводится, а постулируется. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия точно согласуются с экспериментальными данными.

(1)

Временное уравнение Шредингера.

Набла - оператор Лапласа

Потенциальная функция частицы в силовом поле,

Ψ(y,z,t) - искомая функция

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. не изменяется с течением времени), то функция U не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера (т.е. Ψ - функция) может быть представлено в виде произведения двух сомножителей - один зависит только от координат, другой - только от времени:

(2)

Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля.

Подставив (2)  (1):

(3)

Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Имеется бесконечно много решений. Посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл.

Граничные условия:

волновые функции должны быть регулярными , т.е.

1)конечными;

2) однозначными;

3) непрерывными.

Решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера, называются собственными функциями, а соответствующие им значения энергии - собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений называется спектром величины. Если Е n принимает дискретные значения, то спектр - дискретный , если непрерывные - сплошной или непрерывный .

Волновая функция
Wave function

Волновая функция (или вектор состояния) – комплексная функция, описывающая состояние квантовомеханической системы. Её знание позволяет получить максимально полные сведения о системе, принципиально достижимые в микромире. Так с её помощью можно рассчитать все измеряемые физические характеристики системы, вероятность пребывания её в определенном месте пространства и эволюцию во времени. Волновая функция может быть найдена в результате решения волнового уравнения Шредингера.
Волновая функция ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x,t) точечной бесструктурной частицы является комплексной функцией координат этой частицы и времени. Простейшим примером такой функции является волновая функция свободной частицы с импульсом и полной энергией Е (плоская волна)

.

Волновая функция системы А частиц содержит координаты всех частиц: ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t).
Квадрат модуля волновой функции отдельной частицы | ψ (,t)| 2 = ψ *(,t) ψ (,t) дает вероятность обнаружить частицу в момент времени t в точке пространства, описываемой координатами , а именно, | ψ (,t)| 2 dv ≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz это вероятность найти частицу в области пространства объемом dv = dxdydz вокруг точки x, y, z. Аналогично, вероятность найти в момент времени t систему А частиц с координатами 1 , 2 ,..., A в элементе объема многомерного пространства дается величиной | ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
Волновая функция полностью определяет все физические характеристики квантовой системы. Так среднее наблюдаемое значение физической величины F у системы дается выражением

,

где - оператор этой величины и интегрирование проводится по всей области многомерного пространства.
В качестве независимых переменных волновой функции вместо координат частиц x, y, z могут быть выбраны их импульсы p x , p y , p z или другие наборы физических величин. Этот выбор зависит от представления (координатного, импульсного или другого).
Волновая функция ψ (,t) частицы не учитывает ее внутренних характеристик и степеней свободы, т. е. описывает ее движение как целого бесструктурного (точечного) объекта по некой траектории (орбите) в пространстве. Этими внутренними характеристиками частицы могут быть её спин, спиральность, изоспин (для сильновзаимодействующих частиц), цвет (для кварков и глюонов) и некоторые другие. Внутренние характеристики частицы задаются специальной волновой функцией её внутреннего состояния φ. При этом полная волновая функция частицы Ψ может быть представлена в виде произведения функции орбитального движения ψ и внутренней функции φ:

поскольку обычно внутренние характеристики частицы и её степени свободы, описывающие орбитальное движение, не зависят друг от друга.
В качестве примера ограничимся случаем, когда единственной внутренней характеристикой, учитываемой функцией , является спин частицы, причем этот спин равен 1/2. Частица с таким спином может пребывать в одном из двух состояний − с проекцией спина на ось z, равной +1/2 (спин вверх), и с проекцией спина на ось z, равной -1/2 (спин вниз). Эту двойственность описывают спиновой функцией взятой в виде двухкомпонентного спинора:

Тогда волновая функция Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ будет описывать движение частицы со спином 1/2, направленным вверх, по траектории, определяемой функцией ψ , а волновая функция Ψ -1/2 = χ -1/2 ψ будет описывать движение по той же траектории этой же частицы, но со спином, направленным вниз.
В заключении отметим, что в квантовой механике возможны такие состояния, которые нельзя описать с помощью волновой функции. Такие состояния называют смешанными и их описывают в рамках более сложного подхода, использующего понятие матрицы плотности. Состояния квантовой системы, описываемые волновой функцией, называют чистыми.

Постулаты Бора

Планетарная модель атома позволила объяснить результаты опытов по рассеянию альфа-частиц вещества, однако возникли принципиальные трудности при обосновании устойчивости атомов.
Первая попытка построить качественно новую – квантовую – теорию атома была предпринята в 1913 г. Нильсом Бором. Он поставил цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и поглощения света. В основу своей теории Бор положил ядерную модель Резерфорда. Он предположил, что электроны движутся вокруг ядра по круговым орбитам. Движение по окружности даже с постоянной скоростью обладает ускорением. Такое ускоренное движение заряда эквивалентно переменному току, который создает в пространстве переменное электромагнитное поле. На создание этого поля расходуется энергия. Энергия поля может создаваться за счет энергии кулоновского взаимодействия электрона с ядром. В результате электрон должен двигаться по спирали и упасть на ядро. Однако опыт показывает, что атомы – очень устойчивые образования. Отсюда следует вывод, что результаты классической электродинамики, основанной на уравнениях Максвелла, неприменимы к внутриатомным процессам. Необходимо найти новые закономерности. В основу своей теории атома Бор положил следующие постулаты.
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.
Этот постулат находится в противоречии с классической теорией. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантовые значения момента импульса.
Второй постулат Бора (правило частот): при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией

равной разности энергий соответствующих стационарных состояний (Еn и Еm – соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения/поглощения).
Переходу электрона со стационарной орбиты под номером m на стационарную орбиту под номером n соответствует переход атома из состояния с энергией Еm в состояние с энергией Еn (рис. 4.1).

Рис. 4.1. К пояснению постулатов Бора

При Еn > Еm происходит излучение фотона (переход атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией, т. е. переход электрона с более удаленной от ядра орбиты на более близлежащую), при Еn < Еm – его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т. е, переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот

квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома.
Теория Бора блестяще объяснила экспериментально наблюдаемый линейчатый спектр водорода.
Успехи теории атома водорода были получены ценой отказа от фундаментальных положений классической механики, которая на протяжении более 200 лет остается безусловно справедливой. Поэтому большое значение имело прямое экспериментальное доказательство справедливости постулатов Бора, особенно первого – о существовании стационарных состояний. Второй постулат можно рассматривать как следствие закона сохранения энергии и гипотезы о существовании фотонов.
Немецкие физики Д. Франк и Г. Герц, изучая методом задерживающего потенциала столкновение электронов с атомами газов (1913г.), экспериментально подтвердили существование стационарных состояний и дискретность значений энергии атомов.
Несмотря на несомненный успех концепции Бора применительно к атому водорода, для которого оказалось возможным построить количественную теорию спектра, создать подобную теорию для следующего за водородом атома гелия на основе представлений Бора не удалось. Относительно атома гелия и более сложных атомов теория Бора позволила делать лишь качественные (хотя и очень важные) заключения. Представление об определенных орбитах, по которым движется электрон в атоме Бора, оказалось весьма условным. На самом деле движение электронов в атоме имеет мало общего с движением планет по орбитам.
В настоящее время с помощью квантовой механики можно ответить на многие вопросы, касающиеся строения и свойств атомов любых элементов.

5. основные положения квантовой механики:

Волновая функция и ее физический смысл.

Из содержания предыдущих двух параграфов следует, что с микрочастицей сопоставляют волновой процесс, который соответствует ее движению, поэтому состояние частицы в квантовой механике описывают волновой функцией , которая зависит от координат и времени y(x,y,z,t). Конкретный вид y -функции определяется состоянием частицы, характером действующих на нее сил. Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, т.е. не завися­щим от времени, то y -функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой – от координат:

В дальнейшем будем рассматривать только стационарные состояния. y-функция является вероятностной характеристикой состояния частицы. Чтобы пояснить это, мысленно выделим достаточно малый объем , в пределах которого значения y-функции будем считать одинаковыми. Тогда вероятность нахождения dW частицы в данном объ­еме пропорциональна ему и зависит от квадрата модуля y-функции (квадрата модуля амплитуды волн де Бройля):

Отсюда следует физический смысл волновой функции:

Квадрат модуля волновой функции имеет смысл плотности вероят­ности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами х, у, z.

Интегрируя выражение (3.2) по объему, определяем вероятность нахождения частицы в этом объеме в условиях стационарного поля:

Если известно, что частица находится в пределах объема V, то инте­грал выражения (3.4), взятый по объему V, должен быть равен единице:

– условие нормировки y-функции.

Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой со­стояния микрочастиц, она должна быть конечной, однозначной, непре­рывной , так как вероятность не может быть больше единицы, не может быть неоднозначной величиной и не может изменяться скачками. Таким образом, состояние микрочастицы полностью определяется волновой функцией. Частица может быть обнаружена в любой точке пространства, в которой волновая функция отлична от нуля.

Волновая функция и ее физический смысл.

Какой физический смысл следует придать введенной нами волновой функции?

Мы уже обсуждали это вопрос и пришли к выводу, что это поле определяет вероятность обнаружить частицу в различных точках пространства в заданный момент времени. Точнее, квадрат модуля волновой функции есть плотность вероятности обнаружить частицу в точке с координатой в момент времени t :

(17.15)

Естественно полагать, что где-то в пространстве частица достоверно существует. По-

этому волновая функция должна удовлетворять следующему условию нормировки

(17.16)

Здесь интеграл берется по области определения волновой функции, как правило, это все бесконечное пространство. Таким образом, состояния частицы должны описываться функциями с интегрируемым квадратом модуля.

Здесь нас ожидает «неприятность». Единственная волновая функция, которую мы уже знаем, это волна де Бройля, соответствующая частице с заданным значением импульса. Поскольку для этой волны

ng w:val="EN-US"/>1"> (17.17)

то нормировочный интеграл, очевидно, расходится. С другой стороны, такая ситуация

понятна. Если импульс известен точно (а для волны де Бройля это именно так), то из соотношения неопределенностей для неопределенности координаты получаем

(17.18)

т.е. частица делокализована по всему бесконечному пространству. Именно такое абсолютно делокализованное состояние и задает плоская волна. Конечно, к реальному состоянию частицы плоская волна прямого отношения не имеет. Это математическая абстракция. Любой физический процесс происходит, может быть и в макроскопически большой, но ограниченной области пространства. Поэтому мы можем утверждать, что состояние частицы с точно определенным значением импульса принципиально невозможно, а волновая функция вида (17.1) или (17.7) не описывает никакого состояния реаль ного физического объекта. С другой стороны, если волновой пакет достаточно широкий, т.е. его пространственной размер много больше длин волн де Бройля его образующих, приближение плоской волны часто оказывается очень удобным с математической точки зрения.

Таким образом, помимо функций с интегрируемым квадратом модуля в квантовой механике бывает удобно работать и с функциями, которые условию нормировки

(6.16) не удовлетворяют. Рассмотрим вопрос о нормировке таких функций на примере состояния (6.1). Мы опять для простоты ограничимся одномерным случаем. Будем считать, что состояние в виде плоской волны

(17.19)

(A = - нормировочная константа, индекс « p » указывает, что это состояние с импульсом p ) задано на отрезке x ∈(− L/ 2, L/ 2). Мы полагаем, что L велико и в дальнейшем перейдем к пределу L →∞.

Рассмотрим значение следующего интеграла

(17.20)

Вычисление интеграла (17.20) дает

Здесь Δk = (p − p ") h . При Δk ≠ 0 в пределе L →∞ получаем, что I →0 , т.е. волновые функции состояний с различными значениями импульса становятся ортогональны друг другу. В случае Δk ≡ 0 получаем, что I = 1 для любого конечного сколь угодно большого значения L , т.е. условие нормировки (17.16) оказывается выполненным. Указанная процедура может быть использована при решении конкретных задач, однако не совсем удобна, так как в исходной функции (17.19) появился нормировочный размер L . Поэтому обычно поступают немного иначе. Пусть нормировочная константа A = 1. Тогда вычисление интеграла (17.21) в пределе L →∞ дает

Мы здесь использовали известные соотношения

Отсюда возникает условие нормировки на δ - функцию:

где (17.23)

В трехмерном случае аналогично получаем (17.24)

причем (17.25)

Условие нормировки на δ - функцию используется в квантовой теории всякий раз, когда

волновая функция не может быть нормирована согласно условию (17.16).

Опыт Франка-Герца

Опыт Франка - Герца - опыт, явившийся экспериментальным доказательством дискретности внутренней энергии атома. Поставлен в 1913 Дж. Франком и Г. Герцем.

На рисунке приведена схема опыта. К катоду К и сетке C 1 электровакуумной трубки, наполненной парами Hg (ртути), прикладывается разность потенциалов V , ускоряющая электроны, и снимается вольт-амперная характеристика. К сетке C 2 и аноду А прикладывается замедляющая разность потенциалов. Ускоренные в области I электроны испытывают соударения с атомами Hg в области II. Если энергия электронов после соударения достаточна для преодоления замедляющего потенциала в области III, то они попадут на анод. Следовательно, показания гальванометра Г зависят от потери электронами энергии при ударе.

В опыте наблюдался монотонный рост тока I при увеличении ускоряющего напряжения вплоть до 4,9 В, то есть электроны с энергией Е < 4,9 эВ испытывали упругие соударения с атомами Hg, и внутренняя энергия атомов не менялась. При значении V = 4,9 В (и кратных ему значениях 9,8 В, 14,7 В) появлялись резкие спады тока. Это определённым образом указывало на то, что при этих значениях V соударения электронов с атомами носят неупругий характер, то есть энергия электронов достаточна для возбуждения атомов Hg. При кратных 4,9 эВ значениях энергии электроны могут испытывать неупругие столкновения несколько раз.

Таким образом, опыт Франка - Герца показал, что спектр поглощаемой атомом энергии не непрерывен, а дискретен, минимальная порция (квант электромагнитного поля), которую может поглотить атом Hg, равна 4,9 эВ. Значение длины волны λ = 253,7 нм свечения паров Hg, возникавшее при V > 4,9 В, оказалось в соответствии со вторым постулатом Бора

Принцип Паули.

На первый взгляд представляется, что в атоме все электроны должны заполнить уровень с наименьшей возможной энергией. Опыт же показывает, что это не так.

Действительно, в соответствии с принципом Паули, в атоме не может быть электронов с одинаковыми значениями всех четырёх квантовых чисел.
Каждому значению главного квантового числа п соответствует 2п 2 состояний, отличающихся друг от друга значениями квантовых чисел l, m и m S .

Совокупность электронов атома с одинаковыми значения квантового числа п образует так называемую оболочку. В соответствии с номером п

Таблица 18. 1

Оболочки подразделяются на подоболочки , отличающиеся квантовым числом l . Число состояний в подоболочке равно 2(2l + 1).
Различные состояния в подоболочке отличаются значениями квантовых чисел т и m S .

Таблица 18. 2

Понимание периодической системы элементов основано на идее об оболочечной структуре электронного облака атома.

Каждый следующий атом получается из предыдущего добавлением заряда ядра на единицу (е ) и добавлением одного электрона, который помещают в разрешённое принципом Паули состояние с наименьшей энергией.

Обнаружение волновых свойств микрочастиц свидетельствовало о том, что классическая механика не может дать правильного описания поведения таких частиц. Теория, охватывающая все свойства элементарных частиц, должна учитывать не только их корпускулярные свойства, но и волновые. Из опытов, рассмотренных ранее, следует, что пучок элементарных частиц обладает свойствами плоской волны, распространяющейся в направлении скорости частиц. В случае распространения вдоль оси этот волновой процесс может быть описан уравнением волны де Бройля (7.43.5):

(7.44.1)

где – энергия, – импульс частицы. При распространении в произвольном направлении :

(7.44.2)

Назовем функцию волновой функцией и выясним ее физический смысл путём сравнения дифракции световых волн и микрочастиц.

Согласно волновым представлениям о природе света, интенсивность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. По представлениям фотонной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины. Следовательно, число фотонов в данной точке дифракционной картины задаётся квадратом амплитуды световой волны, в то время как для одного фотона квадрат амплитуды определяет вероятность попадания фотона в ту или иную точку.

Дифракционная картина, наблюдаемая для микрочастиц, также характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц. Наличие максимумов в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. Интенсивность же больше там, где больше число частиц. Таким образом, дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической закономерности и можно говорить, что знание вида волны де Бройля, т.е. Ψ -функции, позволяет судить о вероятности того или иного из возможных процессов.

Итак, в квантовой механике состояние микрочастиц описывается принципиально по-новому – с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах. Вероятность нахождения частицы в элементе объёмом равна

(7.44.3)

Величина

(7.44.4)

имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объёме в окрестности заданной точки. Таким образом, физический смысл имеет не сама - функция, а квадрат её модуля , которым задаётся интенсивность волн де Бройля. Вероятность найти частицу в момент времени в конечном объёме , согласно теореме сложения вероятностей, равна

(7.44.5)

Так как частица существует, то она обязательно где-то обнаруживается в пространстве. Вероятность достоверного события равна единице, тогда

. (7.44.6)

Выражение (7.44.6) называется условием нормировки вероятности. Волновая функция , характеризующая вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объёма, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).