Свойства первого дифференциала функции

24.1. Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать D у/D х=ƒ"(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ"(х) ∆х и а ∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так кака второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

Поэтому первое слагаемое ƒ"(х)· ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ"(х) ∆х. (24.1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у"=х"=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

dy=ƒ"(х)dх, (24.2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ"(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

<< Пример 24.1

Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x 2 -sin(l+2x).

Решение: По формуле dy=ƒ"(х) dx находим

dy=(3х 2 -sin(l+2x))"dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

<< Пример 24.2

Найти дифференциал функции

Вычислить dy при х=0, dx=0,1.

Решение:

Подставив х=0 и dx=0.1, получим

24.2. Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM 1 |=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ"(х). Поэтому АВ=ƒ"(х) ∆х.

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

24.3 Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy=f"(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции у=с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: dy=с"dx=0 dx=0.

Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть у=ƒ(u) и u=φ(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у=ƒ(φ(х)). По теореме о производной сложной функции можно написать

у" х =у" u u" x .

Умножив обе части этого равенства на dx, поучаем у" х dx=у" u u" х dx. Но у" х dx=dy и u" х dx=du. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

dy=у" u du.

Сравнивая формулы dy=у" х dx и dy=у" u du, видим, что первый дифференциал функции у=ƒ(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Формула dy=у" х dx по внешнему виду совпадает с формулой dy=у" u du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х - независимая переменная, следовательно, dx=∆х, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du≠∆u.

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Например: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Таблица дифференциалов

24.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α ∆х. Отбрасывая бесконечно малую α ∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство

∆у≈dy, (24.3)

причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.

<< Пример 24.3

Найти приближенное значение приращения функции у=х 3 -2х+1 при х=2 и ∆х=0,001.

Решение: Применяем формулу (24.3): ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х.

Итак, ∆у» 0,01.

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ∆у:

∆у=((х+∆х) 3 -2(х+∆х)+1)-(х 3 -2х+1)=х 3 +3х 2 ∆х+3х (∆х) 2 +(∆х) 3 -2х-2 ∆х+1-х 3 +2х-1=∆х(3х 2 +3х ∆х+(∆х) 2 -2);

Абсолютная погрешность приближения равна

|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

Подставляя в равенство (24.3) значения ∆у и dy, получим

ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)

Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.

<< Пример 24.4

Вычислить приближенно arctg(1,05).

Решение: Рассмотрим функцию ƒ(х)=arctgx. По формуле (24.4) имеем:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,

т. е.

Так как х+∆х=1,05, то при х=1 и ∆х=0,05 получаем:

Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины М (∆х) 2 , где М - наибольшее значение |ƒ"(х)| на сегменте [х;х+∆х].

<< Пример 24.5

Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела

H=g л t 2 /2, g л =1,6 м/с 2 .

Решение: Требуется найти H(10,04). Воспользуемся приближенной формулой (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. При t=10 с и ∆t=dt=0,04 с, H"(t)=g л t, находим

Задача (для самостоятельного решения). Тело массой m=20 кг движется со скоростью ν=10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела

24.6. Дифференциалы высших порядков

Пусть у=ƒ(х) дифференцируемая функция, а ее аргумент х - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy=ƒ"(х)dx есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции у=ƒ(х) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d 2 y или d 2 ƒ(х).

Итак, по определению d 2 y=d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции у=ƒ(х).

Так как dx=∆х не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(х)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 т. е.

d 2 y=ƒ"(х)dх 2 . (24.5)

Здесь dx 2 обозначает (dx) 2 .

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка

d 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ"(х)dx 2)≈f"(x)(dx) 3 .

И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

Отсюда находим, что, В частности, при n=1,2,3

соответственно получаем:

т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х - независимая переменная. Если же функцию у=ƒ(х), где х - функция от кαкой-mo другой независимой переменной , то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.

Используя формулу дифференциала произведения (d(uv)=vdu+udv), получаем:

d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(х))dx+ƒ"(х) d(dx)=ƒ"(х)dx dx+ƒ"(х) d 2 x, т. е.

d 2 y=ƒ"(х)dx 2 +ƒ"(х) d 2 x. (24.6)

Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое ƒ"(х) d 2 х.

Ясно, что если х - независимая переменная, то

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).

<< Пример 24.6

Найти d 2 y, если у=е 3х и х - независимая переменная.

Решение: Так как у"=3е 3х, у"=9e 3х, то по формуле (24.5) имеем d 2 y=9e 3x dx 2 .

<< Пример 24.7

Найти d 2 y, если у=х 2 и х=t 3 +1и t- независимая переменная.

Решение: Используем формулу (24.6): так как

у"=2х, у"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2 ,

то d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

Другое решение: у=х 2 , х=t 3 +1. Следовательно, у=(t 3 +1) 2 . Тогда по формуле (24.5)

d 2 у=у ¢¢ dt 2 ,

d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .

Переобзовем приращение независимой переменной х дифференциалом этой переменной, обозначив его как dx, то есть для независимой переменной по определению будем считать

Назовём дифференциалом функции у=f(х) выражение

Обозначив его символом dy или df (х) по определению будем иметь

Последняя формула называется «формой» «первого» дифференциала. Забегая вперед приведём и объясним «архиважнейшее» свойство дифференциала - так называемую инвариантность (неизменность) его формы. Итак

Форма дифференциала не зависит(инвариантна) от того, является лих независимой переменной, или же этах - зависимая переменная - функция.

Действительно, пусть
, то есть у - сложная функция «от t» По определению дифференциала имеем
. Но

,

то есть опять имеет ту же форму.

Однако «суть» (а не форма) дифференциала в этих двух случаях разная. Чтобы это объяснить выясним сначала геометрический смысл дифференциала и некоторые другие его свойства. Из приведенного ниже рисунка видно, что дифференциал является частью приращения ∆у. Можно показать, что dy, есть главная и линейная часть ∆у. Главная в том смысле, что разность ∆у – dy есть величина бесконечно малая высшего, что ∆х порядка малости, а линейная в смысле линейности своей зависимости от ∆х.

Можно сказать также, что дифференциал есть (смотри рисунок) соответствующее приращение ординаты касательной. Теперь объяснима и разница в сути и значении дифференциальной формы при независимом и зависимом аргументе. В первом случае dx есть все приращение ∆х. С помощью определения легко доказываются и

Арифметические свойства дифференциала

Определим теперь

Производные и дифференциалы высших порядков.

По определению
- вторая производная;
- третья производная и вообще
- n – ая производна функции
.

Точно также по определению

показать, что

Приложения производных к исследованию функций.

В

Геометрически (рис. 6) теорема утверждает, что на соответствующем интервала
найдется точкатакая, что угловой коэффициент касательной к графику в точке
равен угловому коэффициенту секущей, проходящей через точки
и
.

Другими словами, для «куска» графика описанной в теореме функции, найдется касательная, параллельная секущей, которая проходит через граничные точки этого куска. Из этой теоремы в частности следует замечательное правило раскрытия неопределенностей типа -так называемой правило маркиза Лопиталя : Если функции f(x ) и g(x) дифференцируемы в точке а и некоторой её окрестности f(а) = g(а) = 0, а f"(а) и g"(а) не равны нулю одновременно то
.

Замечания: Можно показать, что 1. Правило применимо и для раскрытия неопределенности типа ; 2. Еслиf"(а) = g"(а) = 0 или ∞, а f""(а) и g""(а) существует и не равны нулю одновременно, то
.

Спомощью теоремы Лангранжа можно доказать и достачныц признак монотонности функции:

Если
на интервале (а, b) то f(x ) возрастает (убывает) на этом интервале.

Следует отметить, что знако постоянство производной является и необходимым признаком монотонности. А уже из этих признаков можно вывести:

а) необходимый признак существования экстремума

Для того чтобы точка х 0 была точкой максимума (минимума), необходимо, чтобы f"(x 0 ) либо была равна нулю, либо не существовала. Такие точки х 0 , в которых f"(x 0 ) = 0 или не существуют называют критическими.

б) достаточный признак существования экстремума:

Если (см. рис.) при переходе через критическую точку х 0 производная f"(x ) функции меняет знак, то эта точка - точка экстремума. Если, при этом, f"(x ) меняет знак с «+» на «- « , то х 0 - точка максимума, а если с «-« на «+», то точка х 0 - точка минимума.

И наконец, приведем еще один признак, использующий понятие производной. Это

Достаточный признак выпуклости (вогнутости) графику функции «над» интервалом (а, b).

Если на интервале (а, b) производная f""(x )>0 то график f(x ) вогнут, а если f""(x )< 0, то график является выпуклым «над» этим интервалом.

Полная схема исследования функции может теперь выглядеть следующим образом:

Схема полного исследования функции

Область определения интервала знакопостоянства.

Если функция дифференцируема в точке, то её приращение можно представить в виде суммы двух слагаемых

. Эти слагаемые являются бесконечно малыми функциями при
.Первое слагаемое линейно относительно
,второе является бесконечно малой более высокого порядка, чем
.Действительно,

.

Таким образом второе слагаемое при
быстрее стремится к нулю и при нахождении приращения функции
главную роль играет первое слагаемое
или (так как
)
.

Определение . Главная часть приращения функции
в точке , линейная относительно
,называется дифференциалом функции в этой точке и обозначается dy или df (x )

. (2)

Таким образом, можно сделать вывод: дифференциал независимой переменной совпадает с её приращением, то есть
.

Соотношение (2) теперь принимает вид

(3)

Замечание . Формулу (3) для краткости часто записывают в виде

(4)

Геометрический смысл дифференциала



Рассмотрим график дифференцируемой функции
. Точки
ипринадлежат графику функции. В точкеМ проведена касательная К к графику функции, угол которой с положительным направлением оси
обозначим через
. Проведем прямыеMN параллельно оси Ox и
параллельно осиOy . Приращение функции равно длине отрезка
. Из прямоугольного треугольника
, в котором
, получим

Изложенные выше рассуждения позволяют сделать вывод:

Дифференциал функции
в точке изображается приращением ординаты касательной к графику этой функции в соответствующей её точке
.

Связь дифференциала с производной

Рассмотрим формулу (4)

.

Разделим обе части этого равенства на dx , тогда

.

Таким образом, производная функции равна отношению её дифференциала к дифференциалу независимой переменной .

Часто это отношение рассматривается просто как символ, обозначающий производную функцииу по аргументу х .

Удобными обозначениями производной также являются:

,
и так далее.

Употребляются также записи

,
,

особенно удобные, когда берется производная от сложного выражения.

2. Дифференциал суммы, произведения и частного.

Так как дифференциал получается из производной умножением её на дифференциал независимой переменной, то, зная производные основных элементарных функций, а также правила для отыскания производных, можно прийти к аналогичным правилам для отыскания дифференциалов.

1 0 . Дифференциал постоянной равен нулю

.

2 0 . Дифференциал алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций

3 0 . Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений первой функции на дифференциал второй и второй функции на дифференциал первой

.

Следствие . Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала

.

Пример . Найти дифференциал функции .

Решение.Запишем данную функцию в виде

,

тогда получим

.

4. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.

Определение . Функция
называется заданной параметрически, если обе переменныех и у определяются каждая в отдельности как однозначные функции от одной и той же вспомогательной переменной – параметра t :




где t изменяется в пределах
.

Замечание . Параметрическое задание функций широко применяется в теоретической механике, где параметр t обозначает время, а уравнения
представляют собой законы изменения проекций движущейся точки
на оси
и
.

Замечание . Приведем параметрические уравнения окружности и эллипса.

а) Окружность с центром в начале координат и радиусом r имеет параметрические уравнения:

где
.

б) Запишем параметрические уравнения для эллипса:

где
.

Исключив параметр t из параметрических уравнений рассматриваемых линий, можно прийти к их каноническим уравнениям.

Теорема . Если функция у от аргумента х задана параметрически уравнениями
, где
и
дифференцируемые по t функции и
, то

.

Пример . Найти производную функции у от х , заданной параметрическими уравнениями.

Решение.
.

Формула дифференциала функции имеет вид

где - дифференциал независимой переменной.

Пусть теперь дана сложная (дифференцируемая) функция , где,.Тогда по формуле производной сложной функции находим

так как .

Итак, , т.е. формула дифференциала имеет один и тот же вид для независимой переменнойи для промежуточного аргумента, представляющего собой дифференцируемую функцию от.

Это свойство принято называть свойством инвариантности формулы или формы дифференциала . Заметим, что производная этим свойством не обладает.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция у= f (x ) дифференцируема в точке х 0 . Дадим в этой точке аргументу приращение х . Функция получит приращение  у . Найдем .

Следовательно, у= f (x ) непрерывна в точке х 0 .

Следствие. Если х 0 – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

Дифференциал. Геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Определение

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается какили. Таким образом:

Замечание

Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Замечание

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

Замечание

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента.

Основные правила дифференцирования. Производная постоянной, производная суммы.

Пусть функции иимеют производные в точке. Тогда

1. Константу можно выносить за знак производной.

5. Дифференциал константы равен нулю.

2. Производная суммы/разности .

Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.

Основные правила дифференцирования. Производная произведения.

3. Производная произведения .

Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции.

5. Производная сложной функции .

Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную от промежуточного аргументапо основному аргументу.