Определение фокусного расстояния сферического зеркала

Эта точка называется фокальной точкой или фокусом . Расстояние от полюса Р до фокуса F известно как ƒ вогнутого зеркала.

Проведем ряд исследований, чтобы выяснить основные свойства вогнутого зеркала.

Исследование. Показать, что параллельные лучи сходятся в фокусе F и точечный источник света, помещенный в F, создает в вогнутом зеркале параллельный пучок света

При помощи проектора с тремя щелями направьте три параллельных луча на вогнутое зеркало (рис., а). Измерьте линейкой расстояние FP, чтобы получить фокусное расстояние. Для иллюстрации принципа обратимости света поместите «точечный» источник света в F, фокус зеркала (см. рис., б). Образуется параллельный пучок света.

Если на зеркало падают параллельные лучи, которые не параллельны главной оптической оси, то они сфокусируются в точке F1, которая лежит прямо под F.

Исследование. Измерить фокусное расстояние вогнутого зеркала

Направьте вогнутое зеркало на ярко освещенное окно в солнечный день. Держите белую картонку между зеркалом и окном, как показано на рисунке.

Перемещайте картонку (или зеркало), пока на ней не образуется четкое перевернутое изображение окна. Это изображение появится на картонке, когда она окажется в фокальной плоскости. Измерьте линейкой расстояние от зеркала до картонки.

Повторите несколько раз фокусирование изображения окна, чтобы получить различные значения.

Подсчитайте среднее значение фокусного расстояния вогнутого зеркала.

На главной оптической оси существует точка С, все лучи, исходящие из нее, падают на зеркало нормально (перпендикулярно) и отражаются через эту же точку (рис., а). Эта точка называется центром кривизны С зеркала и является центром сферы, частью которой является это зеркало. Расстояние от полюса Р зеркала до центра кривизны С известно как радиус кривизны вогнутого зеркала (рис., б).

Увеличить интенсивность света, идущего направо от источника, возможно помещением источника света в точку С, поскольку свет слева от лампы после падения на зеркало будет отражен обратно через С.

Может быть показано теоретически и экспериментально, что r = 2ƒ, это означает, что фокусное расстояние вогнутого зеркала также может быть подсчитано по формуле ƒ = r/2.

Исследование. Измерить радиус кривизны r вогнутого зеркала

Маленький освещенный объект, помещенный в центр кривизны С вогнутого зеркала, посылает лучи света к зеркалу, которое затем отражает их обратно к точке С и образует перевернутое изображение рядом с объектом. Установите прибор и вогнутое зеркало, как показано на рисунке а. Необходимо слегка наклонить зеркало на его подставке так, чтобы пятно света оказалось на «экране» рядом с объектом.

Двигайте источник света по направлению к зеркалу (или от него), пока не образуется четкое перевернутое изображение рядом с объектом. Измерительной линейкой отмерьте расстояние от полюса Р зеркала до объекта, который теперь находится в точке С.

Запишите значение r в таблицу результатов. Повторите эксперимент, но на этот раз оставьте источник света неподвижным и двигайте зеркало на подставке, пока изображение снова точно не сфокусируется. Измерьте и запишите второе значение r. Подсчитайте среднее значение радиуса кривизны r.

Цель работы: ознакомление с принципом определения фокусного расстояния сферического зеркала.

Оборудование: оптическая скамья со шкалой, осветителем, экраном, ползунками; набор сферических зеркал, плоское зеркало, спица, линейка.

Теория метода.

Сферическим называют зеркало, отражающая поверхность которого имеет форму части сферы.

Рис 1. Сферическое зеркало

Радиус сферы (рис.1) является радиусом кривизны зеркала. Круг, ограничиваемый краями зеркала, называют апертурой. Прямая MN, проходящая через центр апертуры B и центр кривизны C зеркала, называется

главной оптической осью зеркала. Другие прямые, проходящие через центр кривизны, но не проходящие через центр апертуры, называются побочными оптическими осями зеркала. Точка A пересечения зеркала с главной оптической осью называют вершиной зеркала. Если отражающей является вогнутая поверхность зеркала, то его называют вогнутым, если же выпуклая – выпуклым. Вогнутое зеркало может дать как действительное, так и мнимое изображение, выпуклое - только мнимое. Главным фокусом вогнутого зеркала называют точку F, лежащую на главной оптической оси, в которой пересекаются после отражения от зеркала лучи, падающие на него параллельно главной оптической оси.

Расстояние AF от главного фокуса до вершины зеркала называют главным фокусным расстоянием зеркала. Приблизительно оно равно половине радиуса кривизны зеркала.

Непосредственное измерение фокусного расстояния зеркала оказывается недостаточно точным, так как создание точечного источника или вполне параллельного пучка лучей трудно осуществимо.

Для более точного определения фокусного расстояния сферического зеркала пользуются либо соотношением:

где F - фокусное расстояние,

f - расстояние от предмета до зеркала,

d – расстояние от изображения до зеркала,

либо формулой:

(2),

связывающей отношение размера предмета и его изображения с F; d и f. Формулы (1) и (2) справедливы только в тех случаях, когда падающие лучи составляют с осью зеркала лишь небольшие углы.

1.Определение главного фокусного расстояния вогнутого сферического зеркала.

Описание установки.

Вогнутое зеркало и экран для получения действительного изображения предмета укрепляются каждый на специальном держателе. Держатель может передвигаться по оптической скамье. Имеется шкала или линейка, дающая возможность довольно точно фиксировать положение держателя.

В качестве предмета можно использовать стрелку, начерченную на матовом стекле, а в качестве источника – электрическую лампочку.

не преграждал лучам путь к зеркалу (рис.2).

Рис.2 Схема хода лучей.

Порядок выполнения работы.

1. Поставив предмет на расстоянии от зеркала заведомо большем, чем удвоенное фокусное расстояние, подбирают такое положение экрана, чтобы изображение было наиболее резким.

2. Отсчитав на шкале расстояния d и f и измерив линейкой величину стрелки (её длину) – x и величину её изображения на экране y, вносят данные в отчетную таблицу.

3. Изменив d на 1,0-1,5 см, вновь находят положение экрана, соответствующее наибольшей резкости и измеряют d, f, и x, y, и т.д.

4. Из данных каждого опыта вычисляют F, воспользовавшись выражениями:

вытекающими из равенств (1) и (2).

Таблица 1.

Таблица 2.

6. Сравнить полученные результаты.

2.Определение главного фокусного расстояния выпуклого сферического зеркала.

Описание установки.

Выпуклое зеркало не дает действительного изображения, главный фокус его является мнимым. Чтобы найти главное фокусное расстояние такого зеркала можно снова воспользоваться формулой зеркала (1), учтя при этом, что F , f будут мнимыми, т.е. войдут в формулу (1) со знаком «-». Основную трудность использования формулы (1) составляет определение величины f – расстояния от зеркала до мнимого изображения предмета. Определить f можно с помощью плоского зеркала методом отсутствия параллакса, сущность которого состоит в следующем: если два предмета не наложены друг на друга, а разделены пространственно, то, рассматривая их и перемещая при этом голову вправо или влево, можно обнаружить смещение одного предмета относительно другого (параллактическое смещение). Если же предметы наложены друг на друга, то такого смещения нет.

Если между рассматриваемым предметом и выпуклым зеркалом поместить еще плоское зеркало так, чтобы его верхний край был ниже верхней части выпуклого зеркала, то можно одновременно рассматривать изображение одного и того же предмета сразу в двух зеркалах: плоском и выпуклом.

Перемещая плоское зеркало, можно добиться такого его положения, при котором мнимые изображения предмета в плоском и выпуклом зеркалах при перемещении головы наблюдателя вправо или влево не будут смещаться друг относительно друга, т.е. будут находиться в одной плоскости. Так как изображение в плоском зеркале находится на таком же расстоянии от зеркала, что и предмет, то, измерив расстояние между рассматриваемым предметом и плоским зеркалом (рис.3) найдем, что

f + d = 2b ; f = 2b – d. (3)

Рис.3 Ход лучей и построение изображения, даваемое выпуклым зеркалом.

Порядок выполнения работы.

1.Расположить на оптической скамье рассматриваемый предмет (спицу), выпуклое и плоское зеркало. Измерить расстояние от спицы до выпуклого зеркала.

2.Перемещая плоское зеркало, определить местоположение мнимого изображения спицы. Повторить измерение не менее пяти раз и результаты внести в таблицу.

Таблица 3.

Контрольные вопросы.

1.Каковы основные характеристики сферических зеркал?

2.Почему при проведении опытов нужно предмет ставить на расстоянии, превышающем 2F?

3.Какое и где получилось бы изображение при F

4.Где надо поместить перед вогнутым зеркалом предмет, чтобы обратное и действительное изображение его было в 3 раза больше предмета?

5.Вывести соотношения данные в равенствах (2).

Список литературы:

1. Матвеев А.Н. Оптика: Учебное пособие для физ. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1985.-351с.

2.Савельев И.В. Курс общей физики 3-е изд., испр.-м.: Наука, - т.2: Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. 1988. 496с.

3. Элементарный учебник физики: в трех томах, т.3:Колебание и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика./Под ред. Г.С.Ландсберга – 12-е изд.-М.: ФИЗМАТХИТ, 2000.-656с.

Плоское зеркало не способно сфокусировать пучок лучей. Расходящийся пучок остается после отражения расходящимся. Сфокусировать отраженный пучок можно с помощью вогнутого сферического зеркала. Рассмотрим отражение луча в зеркале.

Источник s испускает луч, отраженный от зеркала и пересекающий оптическую ось в точке s’. Можно провести геометрические рассуждения, аналогичные преломлению луча на сферической поверхности и доказать, что положение изображения не будет зависеть от угла φ, то есть, параксиальный пучок, испущенный s, соберется в одной точке. Однако, мы не будем повторять эти рассуждения, а воспользуемся чисто математическим приемом. Как известно, угол преломления подчиняется закону Снеллиуса. Поскольку угол отраженного луча β 1 =-α (знак минус берется, так как угол откладывается от нормали в другую сторону), то закон Снеллиуса чисто формально можно применить и к отраженному лучу, если положить n=-1. Подчеркиваю, что этот прием чисто математический, никакого физического смысла этот показатель преломления не имеет.

Нами была получена формула . Полагая n 1 =1, n 2 =-1, получим . Эта формула справедлива как для вогнутого, так и для выпуклого зеркала.

Вогнутое зеркало. R<0. В этом случае . Если то s’<0. Это означает, что изображение получается слева. Расходящийся пучок лучей после отражения собирается слева от зеркала, получаем действительное изображение предмета. Если же то s’>0. Изображение получается справа от зеркала (за зеркалом). Это мнимое изображение, лучи после отражения не пересекаются. Ясно, что величина играет роль фокуса вогнутого зеркала. Если источник находится в нем, то испущенный им пучок преобразуется зеркалом в параллельный. Самостоятельно рассмотрите падение на вогнутое зеркало сходящегося пучка.

Выпуклое зеркало. R>0. В этом случае . При любом положительном s величина s’ всегда будет положительной. Это означает, что выпуклое зеркало всегда дает мнимое изображение. Оно находится за зеркалом. Расходящийся пучок лучей не может быть сфокусирован выпуклым зеркалом. Если на выпуклое зеркало падает параллельный пучок лучей, то есть s=+∞, то после отражения пучок будет расходиться из точки , лежащей за зеркалом справа. Это фокус выпуклого зеркала.

Поскольку для зеркала действительное изображение формируется по одну сторону с источником, а мнимое – по разные стороны с источником (это получается из-за того, что после отражения лучи меняет направление своего хода), для увеличения мы будем использовать формулу со знаком +. То есть, . Самостоятельно выясните, при каких положениях источника изображение будет увеличенным и уменьшенным.

Для геометрического построения изображений в зеркалах необходимо использовать «удобные» лучи.

Один из лучей – «фокальный», параллельный оптической оси луч отражается так, что отраженный луч (или его пунктирное продолжение) проходит через фокус. Другой луч – «полярный», он отражается в вершине (полюсе). Ясно, что углы падения и отражения равны, поэтому такой луч можно построить симметричным отображением падающего луча вниз. На рисунках показано построение изображений в вогнутом (A’ – действительное, B’ – мнимое) и выпуклом зеркалах. Кроме этих лучей можно использовать еще один луч, подумайте какой.

Замечу, что получение точечного изображения в зеркале возможно лишь при использовании параксиальных (приосевых) пучков лучей. Широкие пучки лучей приводят к таким же аберрациям, как и в линзах.

Сферические зеркала подразделяются на выпуклые и вогнутые или соответственно отрицательные и положительные, которые разли­чаются между собой лишь знаком радиуса кривизны. Фокус вогнутого зеркала – действительный, а фокус выпуклого – мни­мый. Точка главного фокуса сферического зеркала расположена на середине между центром сферы и ее вершиной, т.е. при равенстве показателей преломления пространства предметов и пространства изображений: ƒ‌‌ = ƒ"= r/2 . Главные плоскости Н и Н" при этом совпадают и касательны к сферической поверхности. Построение изображения сферическим зеркалом можно выполнить графическим методом. Для такого построения изображения исполь­зуют лучи, ход которых заранее известен:

Луч, идущий в про­странстве предметов параллельно оптической оси;

Луч, про­ходящий через передний фокус;

Луч, направленный по радиусу кривизны.

Первый луч, отразившись от зеркала, пройдет через его фокус, второй – выйдет параллельно оптической оси, третий отразится в том же направлении.

Рассмотрим построение изображения предмета в вогнутом зеркале для нескольких вариантов положений предмета:

Вариант 1. При этом, как и для сферической линзы (случай 1), предмет бесконечно удален от сферического зеркала (находится на расстоянии намного большем, чем фокусное расстояние зеркала), т.е. а ® ¥ (рис. 11). В этом случае действительное изображение предмета в виде точки будет находится в главном фокусе зеркала. Покажем на этом же рисунке наличие продольной сферической аберрации в вогнутом зеркале, т.е. когда точки F 1 , F 2 , F 3 , F 4 являются фокусами лучей I, II, III, IV, а чем ближе луч к главной оптической оси зеркала, тем ближе его фокус к главному фокусу зеркала. При отсутствии сферической аберрации все лучи сойдутся в точке главного фокуса F.

Рис. 11. Построение изображения сферическим зеркалом при размещении предмета на расстоянии намного большем, чем фокусное расстояние а ® ∞.

Вариант 2. В этом случае предмет находится на конечном расстоянии от оптического центра О сферического зеркала (Рис. 12), т. е. 2f < a < ¥. Изображение предмета будет действительным, перевернутым, уменьшенным и находится между фокусом и оптическим центром зеркала.

Рис. 12. Построение изображения А"В" при размещении предмета АВ на расстоянии 2f < a < ¥.

Вариант 3. Предмет находится в точке оптического центра сферического зеркала (Рис. 13), т. е. a = 2f . Изображение предмета – действительное, перевернутое, равное предмету и находится также в оптическом центре зеркала.

Рис. 13. Построение изображения при размещении предмета АВ на расстоянии a = 2f .

Вариант 4. Предмет находится между оптическим центром вогнутого сферического зеркала и точкой главного фокуса (Рис. 14), т.е. f < a < 2f . Изображение предмета будет действительным, перевернутым, увеличенным и находится за оптическим центром зеркала.

Рис. 14. Построение изображения А"В" при размещении предмета АВ на расстоянии f < a < 2f .

Вариант 5. Предмет находится в точке фокуса сферического зеркала (Рис.15), т.е. a = f . Изображение предмета – перевернутое и находится в бесконечности.

Рис. 15. Построение изображения при размещении предмета АВ на расстоянии a = f .

Вариант 6. Предмет находится между главным фокусом и главной плоскостью сферического зеркала, т.е. a < f . Изображение предмета – мнимое, прямое, увеличенное.

Рис. 16. Построение изображения А"В" при размещении предмета АВ на расстоянии a < f .

Аналогично вогнутому зеркалу можно построить изображения предмета в выпуклом зеркале.

Рис. 17. При расположении предмета АВ перед зеркалом на любом расстоянии не равном нулю изображение А"В" получается мнимым и находится за зеркалом.

Рис. 18. Если предмет АВ находится в вершине зеркала, то изображение А"В" также будет в вершине (предмет находится в главной плоскости Н, следовательно, изоб­ражение будет в этой же плоскости, так как у зеркала главные плоскости Н и Н" совмещены).

Рис. 19. Предмет АВ - за зеркалом, между верши­ной и точкой F, изображение А"В" – перед зеркалом (в этом случае предмет - мнимый, а изображение - действительное).

Рис.20. Предмет АВ в точке главного фокуса F, изображение – в бесконечности.

Рис. 21. Предмет АВ за точ­кой главного фокуса F, изображение А"В" – за зеркалом (предмет и изображение мнимые).

Разновидностью сферических линз являются концентрические линзы, у которых центры кривизны поверхностей находятся в одной точке, и телескопические линзы (Рис. 22), преобразующие параллельные лучи, падающие на них, также в параллельные при их выходе из линзы.

Рис. 22. Разновидности телескопических линз.

Телескопическая двояковыпуклая линза переворачивает пучек лучей (простейшая система Кеплера), а выпукло-вогнутая телескопическая линза является простейшей системой Галилея, не переворачивающая пучек параллельных лучей. Для этих линз справедливы следующие соотношения:

ƒ" 1 = nr 1 / (n-1); ƒ" 2 = nr 2 / (n-1); ƒ" 1 - ƒ" 2 = d.

Мы рассмотрели оптическое действие отдельно для каждого элемента со сферическими поверхностями. Но еще есть волоконные, несферические, нецентрированные и растровые оптические элементы и системы, которые широко применятся в современных оптических и светотехнических приборах и о которых недостаточно информирован читатель. Мы постараемся восполнить этот пробел в следующей публикации.

Вывод формулы сферического зеркала

Рассмотрим узкий приосевой пучок световых лучей (u - малый угол), падающий на вогнутое сферическое зеркало. В этом случае можно положить: h/r « 1 и h/a « 1 , тогда имеем:

по закону отражения: i = i" (1)

из треугольника ΔSMC: i + u = α (2)

из треугольника ΔCMS": u" + α = i" (3)

Из (1), (2) и (3), находим: u + u" = 2α (4)

Для малых углов можем написать соотношения:

u ≈ sin u = h/a

u" ≈ sin u" = h/a" (5)

α ≈ sin α = h/r

Подставляя (5) в (4) и сокращая на h, получаем формулу сферического зеркала:

(6)

То, что h и u не входят в (6) означает, что любой луч, выходящий из S (и принадлежащий к достаточно узкому пучку), после отражения пройдет через точку S" на расстоянии a" от полюса. Таким образом, точка S" есть изображение точки S. Точки S и S" сопряжены между собой, т. е. поместив источник в точку S", мы получим изображение в точке S (правило обратимости световых лучей).

Для выпуклого сферического формула (6) остается в силе, однако a" < 0 и 2/r < 0, тогда

(6")

Фокус и фокусное расстояние

Фокусом F называется точка на главной оптической оси зеркала, в которой сходится параллельный пучок лучей, отраженных от зеркала. Расстояние от фокуса до полюса зеркала называется фокусным расстоянием f.

Для вычисления фокусного расстояния f, в (6) полагаем a = ∞ и находим a" = r/2 = f

Подставляя (7) в (6), получим формулу сферического зеркала в виде:

(8)

В случае выпуклого зеркала фокус f < 0, т. е. является мнимым.

Увеличение

Отношение линейных размеров изображения y" к линейным размерам предмета y называется линейным или поперечным увеличением β.

Из подобия треугольников Δ S 1 PS и Δ S" 1 PS" , находим поперечное увеличение сферического зеркала.