Энергия вращения твердого тела. Кинетическая энергия и работа при вращательном движении

Выражение для кинетической энергии вращающегося тела с учетом, что линейная скорость произвольной материальной точки, составляющей тело, относительно оси вращения равна имеет вид

где момент инерции тела относительно выбранной оси вращения, его угловая скорость относительно этой оси, момент импульса тела относительно оси вращения.

Если тело совершает поступательно вращательное движение, то вычисление кинетической энергии зависит от выбора полюса, относительно которого описывается движение тела. Конечный результат будет один и тот же. Так, если для катящегося со скоростью vбез проскальзывания круглого тела с радиусом R и коэффициентом инерции k полюс взять в его ЦМ, в точке C, то его момент инерции , а угловая скорость вращения вокруг оси С . Тогда кинетическая энергия тела .

Если полюс взять в точке О касания тела и поверхности, через которую проходит мгновенная ось вращения тела, то его момент инерции относительно оси О станет равным . Тогда кинетическая энергия тела с учетом, что относительно параллельных осей угловые скорости вращения тела одинаковы и вокруг оси О тело совершает чистое вращение, будет равна . Результат тот же.

Теорема о кинетической энергии тела, совершающего сложное движение, будет иметь такой же вид, что и для его поступательного движения: .

Пример 1. К концу нити, накрученной на цилиндрический блок радиуса R и массой M, привязано тело массой m. Тело поднимают на высоту h и отпускают (рис.65). После неупругого рывка нити тело и блок сразу же начинают двигаться совместно. Какое тепло выделится при рывке? Чему будут равны ускорение движения тела и натяжение нити после рывка? Какими будут скорость тела и пройденный им путь после рывка нити через время t?

Дано : M, R, m, h, g, t. Найти : Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

Решение : Скорость тела перед рывком нити . После рывка нити блок и тело придут во вращательное движение относительно оси блока О и будут вести себя как тела с моментами инерции относительно этой оси, равными и . Их общий момент инерции относительно оси вращения .

Рывок нити – быстрый процесс и при рывке имеет место закон сохранения момента импульса системы блок-тело, который ввиду того, что тело и блок сразу же после рывка начинают двигаться совместно, имеет вид: . Откуда начальная угловая скорость вращения блока , а начальная линейная скорость тела .

Кинетическая энергия системы ввиду сохранения ее момента импульса сразу после рывка нити равна . Выделившееся при рывке тепло согласно закону сохранения энергии

Динамические уравнения движения тел системы после рывка нити не зависят от их начальной скорости. Для блока оно имеет вид или , а для тела . Складывая эти два уравнения, получим . Откуда ускорение движения тела . Сила натяжения нити

Кинематические уравнения движения тела после рывка будут иметь вид , где все параметры известны.

Ответ: . .

Пример 2 . Двум круглым телам с коэффициентами инерции (полый цилиндр) и (шар), находящимся в основании наклонной плоскости с углом наклона α сообщают одинаковые начальные скорости, направленные вверх вдоль наклонной плоскости. На какую высоту и за какое время поднимутся тела на эту высоту? Каковы ускорения подъема тел? Во сколько раз отличаются высоты, времена и ускорения подъема тел? Тела движутся вдоль наклонной плоскости без проскальзывания.

Дано : . Найти :

Решение : На тело действуют: сила тяжести mg , реакция наклонной плоскости N , и сила трения сцепления (рис.67). Работы нормальной реакции и силы трения сцепления (нет проскальзывания и в точке сцепления тела и плоскости тепло не выделяется.) равны нулю: , поэтому для описания движения тел возможно применение закона сохранения энергии: . Откуда .

Времена и ускорения движения тел найдем из кинематических уравнений . Откуда , . Отношение высот, времен и ускорений подъема тел:

Ответ : , , , .

Пример 3 . Пуля массой , летящая со скоростью , ударяет в центр шара массой M и радиусом R, прикрепленному к концу стержня массой mи длиной l, подвешенному в точке О за его второй конец, и вылетает из него со скоростью (рис.68). Найти угловую скорость вращения системы стержень-шар сразу же после удара и угол отклонения стержня после удара пули.

Дано : . Найти :

Решение: Моменты инерции стержня и шара относительно точки О подвеса стержня по теореме Штейнера: и . Полный момент инерции системы стержень-шар . Удар пули – быстрый процесс, и имеет место закон сохранения момента импульса системы пуля-стержень-шар (тела после столкновения приходят во вращательное движение): . Откуда угловая скорость движения системы стержень-шар сразу же после удара .

Положение ЦМ системы стержень-шар относительно точки подвеса О: . Закон сохранения энергии для ЦМ системы после удара с учетом закона сохранения момента импульса системы при ударе имеет вид . Откуда высота поднятия ЦМ системы после удара . Угол отклонения стержня после удара определяется условием .

Ответ: , , .

Пример 4 . К круглому телу массой m и радиусом R, с коэффициентом инерции k, вращающемуся с угловой скоростью , прижата с силой N колодка (рис.69). Через какое время остановится цилиндр и какое тепло выделится при трении колодки о цилиндр за это время? Коэффициент трения между колодкой и цилиндром равен .

Дано : Найти :

Решение : Работа силы трения до остановки тела по теореме о кинетической энергии равна . Выделившееся при вращении тепло .

Уравнение вращательного движения тела имеет вид . Откуда угловое ускорение его замедленного вращения . Время вращения тела до его остановки .

Ответ : , .

Пример 5 . Круглое тело массой m и радиусом R с коэффициентом инерции k раскручивают до угловой скорости против часовой стрелки и ставят на горизонтальную поверхность, стыкующуюся с вертикальной стенкой (рис.70). Через какое время тело остановится и сколько оно сделает оборотов до остановки? Чему будет равно тепло, выделившееся при трении тела о поверхности за это время? Коэффициент трения тела о поверхности равен .

Дано : . Найти :

Решение : Тепло, выделившееся при вращении тела до его остановки, равно работе сил трения, которая может быть найдена по теореме о кинетической энергии тела. Имеем .

Реакция горизонтальной плоскости . Силы трения, действующие на тело со стороны горизонтальной и вертикальной поверхностей равны: и .Из системы этих двух уравнений получим и .

С учетом этих соотношений уравнение вращательного движения тела имеет вид ( . Откуда угловое ускорение вращения тела равно . Тогда время вращения тела до его остановки , а число сделанных им при этом оборотов .

Ответ : , , , .

Пример 6 . Круглое тело с коэффициентом инерции k скатывается без проскальзывания с вершины полусферы радиусом R, стоящей на горизонтальной поверхности (рис.71). На какой высоте и с какой скоростью оно оторвется от полусферы и с какой скоростью упадет на горизонтальную поверхность?

Дано : k, g, R. Найти :

Решение : На тело действуют силы . Работы и 0, (нет проскальзывания и тепло в точке сцепления полусферы и шара не выделяется) поэтому для описания движения тела возможно применение закона сохранения энергии. Второй закон Ньютона для ЦМ тела в точке его отрыва от полусферы с учетом, что в этой точке имеет вид , откуда . Закон сохранения энергии для начальной точки и точки отрыва тела имеет вид . Откуда высота и скорость отрыва тела от полусферы равны , .

После отрыва тела от полусферы изменяется только его поступательная кинетическая энергия, поэтому закон сохранения энергии для точек отрыва и падения тела на землю имеет вид . Откуда с учетом получим . Для тела, скользящего по поверхности полусферы без трения, k=0 и , , .

Ответ: , , .

Задачи

1. Определить, во сколько раз эффективная масса больше тяготеющей массы поезда массой 4000 т, если масса колес составляет 15% от массы поезда. Колеса считать дисками диаметром 1,02 м. Как изменится ответ, если диаметр колес будет в два раза меньше?

2. Определить ускорение, с которым скатывается колесная пара массой 1200 кг с горки с уклоном 0,08. Колеса считать дисками. Коэффициент сопротивления качению 0,004. Определить силу сцепления колес с рельсами.

3. Определить, с каким ускорением закатывается колесная пара массой 1400 кг на горку с уклоном 0,05. Коэффициент сопротивления 0,002. Каким должен быть коэффициент сцепления, чтобы колеса не буксовали. Колеса считать дисками.

4. Определить, с каким ускорением скатывается вагон массой 40 т, с горки с уклоном 0,020, если у него восемь колес массой 1200 кг и диаметром 1,02 м. Определить силу сцепления колес с рельсами. Коэффициент сопротивления 0,003.

5. Определить силу давления тормозных колодок на бандажи, если поезд массой 4000 т тормозит с ускорением 0,3 м/с 2 . Момент инерции одной колесной пары 600 кг·м 2 , количество осей 400, коэффициент трения скольжения колодки 0,18, коэффициент сопротивления качению 0,004.

6. Определить силу торможения, действующую на четырехосный вагон массой 60 т на тормозной площадке сортировочной горки, если скорость на пути 30 м уменьшилась от 2 м/с до 1,5 м/с. Момент инерции одной колесной пары 500 кг·м 2 .

7. Скоростемер локомотива показал увеличение скорости поезда в течении одной минуты от 10 м/с до 60 м/c. Вероятно, произошло буксование ведущей колесной пары. Определить момент сил, действующих на якорь электродвигателя. Момент инерции колесной пары 600 кг·м 2 , якоря 120 кг·м 2 . Передаточное отношение зубчатой передачи 4,2. Сила давления на рельсы 200 кН, коэффициент трения скольжения колес по рельсу 0,10.

11. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАТЕЛЬОГО

ДВИЖЕНИЯ

Выведем формулу кинетической энергии вращательного движения. Пусть тело вращается с угловой скоростью ω относительно неподвижной оси. Любая небольшая частица тела совершает поступательное движение по окружности со скоростью , где r i – расстояние до оси вращения, радиус орбиты. Кинетическая энергия частицы массы m i равна . Полная кинетическая энергия системы частиц равна сумме их кинетических энергий. Просуммируем формулы кинетической энергии частиц тела и вынесем за знак суммы половину квадрата угловой скорости, которая одинакова для всех частиц, . Сумма произведений масс частиц на квадраты их расстояний до оси вращения является моментом инерции тела относительно оси вращения . Итак, кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси на квадрат угловой скорости вращения :

С помощью вращающихся тел можно запасать механическую энергию. Такие тела называются маховиками. Обычно это тела вращения. Известно с древности применение маховиков в гончарном круге. В двигателях внутреннего сгорания во время рабочего хода поршень сообщает механическую энергию маховику, который затем три последующих такта совершает работу по вращению вала двигателя. В штампах и прессах маховик приводится во вращение сравнительно маломощным электродвигателем, накапливает механическую энергию почти в течение полного оборота и в кратковременный момент удара отдает ее на работу штампования.

Известны многочисленные попытки применения вращающихся маховиков для привода в движение транспортных средств: легковых автомобилей, автобусов. Их называют махомобили, гировозы. Таких экспериментальных машин было создано немало. Было бы перспективно применять маховики для аккумулирования энергии при торможении электропоездов с целью использования накопленной энергии при последующем разгоне. Известно, что маховичный накопитель энергии используется на поездах метрополитена Нью-Йорка.

Механика.

Вопрос №1

Система отсчёта. Инерциальные системы отсчёта. Принцип относительности Галилея - Эйнштейна.

Система отсчёта - это совокупность тел по отношению к которым описывается движение данного тела и связанная с ним система координат.

Инерциальная система отсчёта (ИСО) - это система, в которой свободно движущееся тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Принцип относительности Галилея - Эйнштейна - Все явления природы в любой инерциальной системе отсчёта происходят одинаково и имеют одинаковый математический вид. Другими словами все ИСО равноправны.

Вопрос №2

Уравнение движения. Виды движения твёрдого тела. Основная задача кинематики.

Уравнения движения материальной точки:

- кинематическое уравнение движения

Виды движения твёрдого тела:

1) Поступательное движение - любая прямая проведённая в теле перемещается параллельно самой себе.

2) Вращательно движение - любая точка тела движется по окружности.

φ = φ(t)

Основная задача кинематики - это получение зависимостей от времени скорости V= V(t) и координат (или радиуса-вектора) r = r(t) материальной точки из известной зависимости от времени ее ускорения a = a(t) и известных начальных условий V 0 и r 0 .

Вопрос №7

И́мпульс (Количество движения ) - векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этой точки на её скорость v , направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости

В случае, если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты , то в силу уравнений Лагранжа .

Для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид: , отсюда:

Независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве следует из свойства однородности пространства : для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства мы её поместим. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины. Эту величину и называют импульсом (обычным, не обобщённым).

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

соответственно величина называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с)

Если мы имеем дело с телом конечного размера, для определения его импульса необходимо разбить тело на малые части, которые можно считать материальными точками и просуммировать по ним, в результате получим:

Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени:

Сохранение импульса в этом случае следует из второго и третьего закона Ньютона: написав второй закон Ньютона для каждой из составляющих систему материальных точек и просуммировав по всем материальным точкам, составляющим систему, в силу третьего закона Ньютона получим равенство (*).

В релятивистской механике трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина

,

где m i - масса i -й материальной точки.

Для замкнутой системы не взаимодействующих материальных точек эта величина сохраняется. Однако трёхмерный импульс не есть релятивистски инвариантная величина, так как он зависит от системы отсчёта. Более осмысленной величиной будет четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки определяется как

На практике часто применяются следующие соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:

В принципе, для системы невзаимодействующих материальных точек их 4-импульсы суммируются. Однако для взаимодействующих частиц в релятивистской механике следует учитывать импульсы не только составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия между ними. Поэтому гораздо более осмысленной величиной в релятивистской механике является тензор энергии-импульса, который в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Вопрос №8

Момент инерции - скалярная физическая величина, мера инерции тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества

Осевой момент инерции

Осевые моменты инерции некоторых тел.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J a , равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

• m i - масса i -й точки,
• r i - расстояние от i -й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,

• dm = ρdV - масса малого элемента объёма тела dV ,
• ρ - плотность,
• r - расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Вывод формулы

dm и моментами инерции dJ i . Тогда

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Теорема Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Если - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен

,

где - полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Энергия вращательного движения

Кинетическая энергия вращательного движения - энергия тела, связанная с его вращением.

Основные кинематические характеристики вращательного движения тела - его угловая скорость (ω) и угловое ускорение. Основные динамические характеристики вращательного движения - момент импульса относительно оси вращения z:

K z = I z ω

и кинетическая энергия

где I z - момент инерции тела относительно оси вращения.

Похожий пример можно найти при рассмотрении вращающейся молекулы с главными осями инерции I 1 , I 2 и I 3 . Вращательная энергия такой молекулы задана выражением

где ω 1 , ω 2 , и ω 3 - главные компоненты угловой скорости.

В общем случае, энергия при вращении с угловой скоростью находится по формуле:

, где I - тензор инерции.

Вопрос №9

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения ) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно - если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) - векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой непПроизводная момента импульса по времени есть момент силы:

Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного) момента внешних сил:

где - момент одной из сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется).

Математически закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол , радиус-вектор частицы с номером изменятся на , а скорости - . Функция Лагранжа системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому

Поскольку твердое тело представляет собой частный случай системы материальных точек, то кинетическая энергия тела при вращении вокруг неподвижной оси Z будет равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек, то есть

Все материальные точки твердого тела вращаются в этом случае по окружностям с радиусами и с одинаковыми угловыми скоростями . Линейная скорость каждой материальной точки твердого тела равна . Кинетическая энергия твердого тела примет вид

Сумма в правой части этого выражения в соответствии с (4.4) представляет собой момент инерции этого тела относительно данной оси вращения. Поэтому формула для расчета кинетической энергии вращающегося относительно неподвижной оси твердого тела примет окончательный вид:

. (4.21)

Здесь учтено, что

Вычисление кинетической энергии твердого тела в случае произвольного движения значительно усложняется. Рассмотрим плоское движение, когда траектории всех материальных точек тела лежат в параллельных плоскостях. Скорость каждой материальной точки твердого тела, согласно (1.44), представим в виде

,

где в качестве мгновенной оси вращения выберем ось, проходящую через центр инерции тела перпендикулярно плоскости траектории какой-либо точки тела. В этом случае в последнем выражении представляет собой скорость центра инерции тела, - радиусы окружностей, по которым вращаются точки тела с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр его инерции. Так как при таком движении ^, то вектор, равный , лежит в плоскости траектории точки.

На основании сказанного выше кинетическая энергия тела при его плоском движении равна

.

Возводя выражение, стоящее в круглых скобках, в квадрат и вынося за знак суммы постоянные для всех точек тела величины, получим

Здесь учтено, что ^.

Рассмотрим каждое слагаемое в правой части последнего выражения отдельно. Первое слагаемое в силу очевидного равенства равно

Второе слагаемое равно нулю, так как сумма определяет радиус-вектор центра инерции (3.5), который в данном случае лежит на оси вращения. Последнее слагаемое с учетом (4.4) примет вид . Теперь, окончательно, кинетическая энергия при произвольном, но плоском движении твердого тела может быть представлена в виде суммы двух слагаемых:

, (4.23)

где первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию материальной точки с массой, равной массе тела и движущейся со скоростью, которую имеет центр масс тела;

второе слагаемое представляет собой кинетическую энергию тела, вращающегося вокруг оси (движущейся со скоростью ), проходящей через его центр инерции.

Выводы: Итак, кинетическая энергия твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси может быть вычислена с помощью одного из соотношений (4.21), а в случае плоского движения с помощью (4.23).

Контрольные вопросы.

4.4. В каких случаях (4.23) переходит в (4.21)?

4.5. Как будет выглядеть формула для кинетической энергии тела при его плоском движении, если мгновенная ось вращения не проходит через центр инерции? Каков при этом смысл входящих в формулу величин?

4.6. Покажите, что работа внутренних сил при вращении твердого тела равна нулю.

Начнем с рассмотрения вращения тела вокруг неоодвижной оси которую мы назовем осью z (рис. 41.1). Линейная скорость элементарной массы равна где - расстояние массы от оси . Следовательно для кинетической энергии элементарной массы получается выражение

Кинетическая энергия тела слагается из кинетических энергий его частей:

Сумма в правой части этого соотношения представляет собой момент инерции тела 1 относительно оси вращения. образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси равна

Пусть на массу действуют внутренняя сила и внешняя сила (см. рис. 41.1). Согласно (20.5) эти силы совершат за время работу

Осуществив в смешанных произведениях векторов циклическую перестановку сомножителей (см. (2.34)), получим:

где N - момент внутренней силы относительно точки О, N - аналогичный момент внешней силы.

Просуммировав выражение (41.2) по всем элементарным массам, получим элементарную работу, совершаемую над телом за время dt:

Сумма моментов внутренних сил равна нулю (см. (29.12)). Следовательно, обозначив суммарный момент внешних сил через N придем к выражению

(мы воспользовались формулой (2.21)).

Наконец, приняв во внимание, что есть угол на который поворачивается тело за время получим:

Знак работы зависит от знака т. е. от знака проекции вектора N на направление вектора

Итак, при вращении тела внутренние силы работы не совершают, работа же внешних сил определяется формулой (41.4).

К формуле (41.4) можно прийти, воспользовавшись тем, что работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, идет на приращение его кинетической энергии (см. (19.11)). Взяв дифференциал от обеих частей равенства (41.1), придем к соотношению

Согласно уравнению (38.8) так что, заменив через придем к формуле (41.4).

Таблица 41.1

В табл. 41.1 сопоставлены формулы механики вращательного движений с аналогичными формулами механики поступательного движения (механики точки). Из этого сопоставления легко заключить, что во всех случаях роль массы играет момент инерции, роль силы момент силы, роль импульса - момент импульса и т. д.

Формулу. (41.1) мы получили для случая, когда тело вращается вокруг неподвижной фиксированной в теле оси. Теперь допустим что тело вращается произвольным образом относительно неподвижной точки, совпадающей с его центром масс.

Свяжем жестко с телом декартову систему координат, начало которой поместим в центр масс тела. Скорость i-й элементарный массы равна Следовательно, для кинетической энергии тела, можно написать выражение

где - угол между векторами Заменив а через и учтя, что получим:

Распишем скалярные произведения через проекции векторов на оси связанной с телом координатной системы:

Наконец, объединив слагаемые с одинаковыми произведениями компонент угловой скорости и вынеся эти произведения за знаки сумм, получим: так что формула (41.7) принимает вид (ср. с (41.1)). При вращении произвольного тела вокруг одной из главных осей инерции, скажем оси и формула (41.7) переходит в (41.10.

Таким, образом. кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции на квадрат угловой скорости в трех случаях: 1) для тела вращающегося вокруг неподвижной оси; 2) для тела вращающегося вокруг одной из главных осей инерции; 3) для шарового волчка. В остальных случаях кинетическая энергия определяется белее сложными формулами (41.5) или (41.7).