Рассмотрим условия равновесия зарядов в проводнике, воспользовавшись понятием разности потенциалов. Как уже указывалось в § 16, при равновесии зарядов напряженность поля в проводнике должна равняться нулю (т. е. электрическое поле в проводнике отсутствует). Но на основании (23.1) это означает, что разность потенциалов между любыми точками проводника равна нулю. Это относится также и ко всем точкам поверхности проводника. Следовательно, поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью.

Так как линии поля перпендикулярны ко всем эквипотенциальным поверхностям (§ 22), то они перпендикулярны к поверхности проводника – вывод, который мы уже получили в § 18.

Если мы имеем два изолированных проводника 1 и 2 (рис. 42), то поверхность каждого из них должна быть эквипотенциальной поверхностью. Но между поверхностями этих двух проводников может существовать разность потенциалов. Что произойдет, если эти два проводника соединить металлической проволокой? Между концами этой проволоки будет существовать разность потенциалов, равная разности потенциалов проводников. Следовательно, вдоль проволоки будет действовать электрическое поле, и поэтому в ней начнется движение свободных электронов, переходящих в сторону возрастания потенциала (§ 23), ибо электроны имеют отрицательный заряд. Вместе с этим движением начнется и перемещение электронов по проводникам 1 и 2, в результате которого имевшаяся вначале разность потенциалов между проводниками будет уменьшаться. Движение электронов, т. е. электрический ток в проводниках и в соединяющей их проволоке, будет продолжаться до тех пор, пока разность потенциалов между всеми точками этих проводников не станет равной нулю и поверхности обоих проводников и проволоки между ними не сделаются одной эквипотенциальной поверхностью.

Рис. 42. К объяснению возникновения движения зарядов при наличии разности потенциалов

Наш земной шар в целом является проводником. Поэтому поверхность Земли есть также эквипотенциальная поверхность. При построении эквипотенциальных поверхностей нередко выбирают в качестве нулевой эквипотенциальную поверхность, совпадающую с поверхностью Земли, и иногда говорят вместо «разность потенциалов» просто «потенциал» в данной точке. При этом имеют в виду ту разность потенциалов, которая существует между этой точкой и какой-либо точкой поверхности Земли. Как уже было разъяснено в § 22, выбор поверхности Земли в качестве нулевой эквипотенциальной поверхности является условным.

24.1. Начертите приблизительный вид эквипотенциальных поверхностей и линий поля возле положительного точечного заряда, помещенного над земной поверхностью.

24.2. Начертите приблизительный вид эквипотенциальных поверхностей и линий поля, возникающего между заряженным металлическим шаром и стенами комнаты.

24.3. Изменится ли электрическое поле, создаваемое зарядом, если "этот заряд окружить тонкой незаряженной металлической поверхностью, совпадающей с одной из эквипотенциальных поверхностей?

Если допустить обратное, то появятся электрические силы, пропорциональные напряженности электрического поля, которые вызовут движение зарядов такое, которое приведет к новому равновесному распределению зарядов. В соответствии с (3.1.36) условие (3.3.1) означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным (φ = const). Кроме того, отсутствие электрического поля внутри проводника, согласно теореме Гаусса, приводит и к отсутствию электрических зарядов внутри проводника.

1. Напряженность электрического поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности:

В этом случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной. Действительно, представим себе воображаемую поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Ее уравнение имеет вид:

При перемещении по эквипотенциальной поверхности на отрезок dl потенциал не изменится (dφ = 0). Следовательно, согласно (3.1.33), касательная к поверхности составляющая вектора равна нулю. Отсюда следует, что вектор в каждой точке направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через данную точку.

Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Поскольку внутри проводника зарядов быть не может, любой избыточный заряд должен разместиться на поверхности проводника. Поскольку в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет, удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не отразится на равновесном распределении зарядов. Таким образом, избыточный заряд распределится на полом проводнике точно так же, как и на сплошном, т.е. на его наружной поверхности. На поверхности полости в состоянии равновесия избыточные заряды располагаться не могут, что вытекает из того обстоятельства, что согласно закону Кулона, одноименные элементарные заряды, образующие заряд q, взаимно отталкиваются и стремятся расположиться на наибольшем расстоянии друг от друга.

При внесении незаряженного проводника в электрическое поле носители заряда приходят в движение: положительные в направлении вектора Е, отрицательные - в противоположную сторону. В результате у концов проводника возникают заряды противоположного знака, называемые индуцированными зарядами (Рис. 3.3.1).

Рис. 3.3.1. Изменение электрического поля при внесении незаряженного проводника

Поле этих зарядов направлено противоположно внешнему полю. Следовательно, накопление зарядов у концов проводника приводит к ослаблению в нем поля. Перераспределение зарядов происходит до тех пор, пока не будут выполнены условия () и (). Следовательно, незаряженный проводник, внесенный в электрическое поле, разрывает часть линий напряженности - они заканчиваются на отрицательных и вновь начинаются на положительных зарядах на поверхности проводника.

Индуцированные заряды распределяются по внешней поверхности проводника. Если внутри проводника имеется полость, то при равновесном распределении зарядов поле внутри нее равно нулю. На этом основано действие электростатической защиты: когда какой-либо прибор хотят защитить от внешних электрических полей, его помещают в проводящий экран.

3.3.2. Электроемкость

Сообщенный проводнику заряд q распределяется по его поверхности так, чтобы напряженность поля внутри проводника была равна нулю. Если проводнику, уже имеющему заряд q, сообщить еще заряд той же величины, то и этот заряд должен распределиться аналогично первому, т.е. так, чтобы напряженность поля внутри проводника была равна нулю. Это справедливо при условии, что увеличение заряда не вызывает изменений в распределении зарядов на окружающих телах.

Потенциал уединенного проводника пропорционален находящемуся на нем заряду, поскольку увеличение в некоторое количество раз заряда приводит и к увеличению в то же число раз напряженности поля в окружающем проводник пространстве. Следовательно, так же возрастет работа переноса единичного заряда из бесконечности на поверхность проводника - потенциал. Поэтому для уединенного проводника должно выполняться соотношение:

Коэффициент пропорциональности называется электроемкостью (кратко - емкостью) проводника. Из (3.3.4) следует, что:

Это означает, что для данного уединенного проводника отношение его заряда к потенциалу есть величина постоянная и равная электроемкости. Последняя численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу.

Найдем потенциал заряженного шара радиуса R. Используя (3.1.40), можно получить потенциал шара, проинтегрировав (3.1.22) от R до ∞:

Тогда с помощью (3.3.5) получим:

Если учесть, что величина электрического поля в среде с диэлектрической проницаемостью уменьшается в ε раз, то имеем для сферы:

Следовательно, емкость уединенного шара радиуса R, погруженного в однородный безграничный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε, равна:

т.е. увеличилась в ε раз по сравнению со случаем, когда шар находится в вакууме или окружен воздухом.

За единицу емкости в системе СИ принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему зарядя в 1 Кл. Эта единица называется фарадой (1 Ф). Связь единиц системы СИ и СГСЭ имеет вид:

Емкостью в 1 Ф обладал бы уединенный шар радиуса 9·10 9 м, т.е. в 1500 раз большим, чем радиус Земли. Следовательно, 1 Ф - очень большая величина. Поэтому на практике применяют - мкФ или пФ.

3.3.3. Конденсаторы

Уединенные проводники обладают относительно малой емкостью. Шар размерами, равными Земле, мог бы иметь емкость всего 700 мкФ. В электро - и радиотехнике есть необходимость в устройствах, которые обладали бы способностью при относительно небольшом потенциале накапливать значительную величину заряда. В основу таких устройств - конденсаторов положен тот факт, что емкость проводника возрастает при приближении к нему других тел.

Конденсаторы делают в виде двух проводников, расположенных близко друг к другу. Эти проводники называют обкладками. Форма и расположение обкладок должны быть такими, чтобы внешние тела не оказывали влияние на конденсатор, т.е. поле, создаваемое зарядами конденсатора, должно быть сосредоточено внутри обкладок. Этому условию удовлетворяют плоский, цилиндрический и сферический конденсаторы.

Поскольку поле заключено внутри конденсатора, линии электрической индукции начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Следовательно, свободные заряды, сосредоточенные на разных обкладках, будут иметь одну и ту же величину, но противоположный знак. Емкостью конденсатора называется физическая величина, равная отношению заряда одной из обкладок к разности потенциалов на обкладках:

Величина емкости определяется геометрическими размерами конденсатора и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей зазор между обкладками. Емкость не зависит от того, из какого проводящего материала сделаны обкладки.

Найдем формулу емкости плоского конденсатора. Если площадь обкладки S, заряд на ней q и между пластинами находится диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε, то напряженность поля в такой системе имеет значение:

Согласно (3.1.33), разность потенциалов имеет вид:

тогда для емкости плоского конденсатора получаем формулу:

Отсюда следует, чтобы получить возможно большую емкость, нужно взять наибольшую площадь обкладок, расположить их на минимальном расстоянии друг от друга и поместить в зазоре между ними диэлектрик с высоким значением диэлектрической проницаемости ε.

Помимо емкости, каждый тип конденсаторов характеризуется предельной разностью потенциалов (напряжением) U макс = φ 1 - φ 2 , которые можно прилагать к обкладкам, не опасаясь его пробоя. При превышении этого значения между обкладками возникает искра, которая разрушает диэлектрик и выводит из строя конденсатор.

Используя несколько конденсаторов, можно изменять емкость такой системы, используя различные способы их соединения. Наиболее важные - параллельное и последовательное соединения.

При параллельном соединении (Рис. 3.3.2) одна из обкладок каждого конденсатора имеет потенциал φ 1 , а другая - φ 2 .

Рис. 3.3.2. Параллельное соединение конденсаторов

На каждой из двух систем соединенных обкладок накапливается суммарный заряд:

Из (3.3.14) легко получить емкость батареи параллельно соединенных конденсаторов:

Емкости в этом случае складываются. Предельное напряжение равно наименьшему из U макс конденсаторов, включенных в батарею.

На Рис. 3.3.3. показано последовательное соединение конденсаторов.

Рис. 3.3.3. Последовательное соединение конденсаторов

Вторая обкладка первого конденсатора образует с первой обкладкой второго конденсатора единый проводник. То же самое справедливо для второй обкладки второго конденсатора и первой обкладки третьего конденсатора и т.д. Следовательно, для всех так соединенных конденсаторов характерна одинаковая величина заряда q на обкладках. Поэтому напряжение на каждом из конденсаторов имеет величину.

Равновесие зарядов на проводнике

В рамках электростатики мы рассматриваем задачи, в которых распределение зарядов отличается статичностью . Другими словами, такие состояния тел, которые реализуются после того, когда тела рассматриваемых систем пришли в равновесие после некоторых воздействий, например, сообщения заряда, помещения в электрическое поле и т.п. Проводники , в отличие от, диэлектриков, имеют в своем составе свободные носители заряда , которые могут перемещаться по объему проводника. В случае металлов такими носителями заряда являются электроны. Скорость их перемещения по металлу весьма высока, поэтому металлы приходят в равновесие в очень малые доли секунды. В случае других материалов может оказаться, что переход в равновесие происходит гораздо медленнее, однако мы сейчас будем рассматривать ситуации, когда равновесие достигнуто.

В состоянии равновесия выполняются следующие условия:

1. Напряженность поля внутри проводника была равна нулю: .

2. На поверхности (вблизи, в непосредственной окрестности…) проводника напряженность электрического поля перпендикулярна поверхности.

Эти условия являются следствиями наличия в проводнике свободных носителей заряда. Действительно, в равновесии перемещение зарядов должно отсутствовать, а, значит, напряженность поля внутри проводника должна быть равна нулю. Следствием этого условия является утверждение о том, что все точки проводника должны иметь одинаковый потенциал, и поверхность проводника является эквипотенциальной .

Поскольку внутри проводника в равновесии не может быть некомпенсированных зарядов (они создавали бы ненулевое поле внутри проводника), то заряд сообщаемый проводнику, располагается в очень тонком слое проводника вблизи поверхности, т.е. на поверхности проводника .

На поверхности проводника у вектора напряженности электрического поля должна отсутствовать тангенциальная (направленная по касательной к поверхности составляющая) составляющая . При ее наличии должно было бы происходить движение зарядов вдоль поверхности, чего в равновесии не может быть. Это утверждение справедливо для любого направления, поэтому вектор напряженностидолжен быть перпендикулярен поверхности .

Заряд, сообщенный проводнику, располагается на его поверхности с плотностью . Поток вектора электрической индукции через поверхность цилиндра, показанного на рисунке 16.1, по теореме Гаусса должен быть равен величине свободного заряда, заключенного внутри поверхности – . Однако поток через боковую поверхность отсутствует, поскольку вектор напряженности (а значит и вектор индукции) параллелен ей, поток через основание внутри проводника отсутствует – там нет электрического поля, а поток через внешнее основание равен . Поэтому

Представим уединенный проводник которому сообщен некоторый заряд. На большом, по сравнению с размерами проводника, расстоянии от него, независимо от формы проводника, его можно считать точечным заряженным телом . Эквипотенциальные поверхности точечного заряда являются сферами. Вблизи проводника эквипотенциальные поверхности должны приблизительно повторять его форму. Вследствие этого вблизи концов проводника эквипотенциальные поверхности сгущаются. Это означает, что потенциал в этих точках пространства изменяется быстро, а напряженность поля, соответственно достигает больших значений. Вследствие большой напряженности поля вблизи острых концов проводников возможно возникновение газового разряда, сопровождающегося стеканием заряда с проводника. По этой причиной элементы высоковольтных линий электропередач обязательно выполняются с округлыми поверхностями.

Носители заряда в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому для равновесия зарядов на проводнике необходимо выполнение следующих условий:

В соответствии с (8.2) это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным ).

2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности:

Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной.

Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Представим себе произвольную замкнутую поверхность, полностью заключенную в пределах тела. При равновесии зарядов поле в каждой точке внутри проводника отсутствует; поэтому поток вектора электрического смещения через поверхность равен нулю. Согласно теореме Гаусса сумма зарядов внутри поверхности также будет равна нулю. Это справедливо для поверхности любых размеров, проведенной внутри проводника произвольным образом. Следовательно, при равновесии ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов - все они распределятся по поверхности проводника с некоторой плотностью о.

Поскольку в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет, удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Таким образом, избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, т. е. по его наружной поверхности.

На поверхности полости в состоянии равновесия избыточные заряды располагаться не могут. Этот вывод вытекает также из того, что одноименные элементарные заряды, образующие данный заряд q, взаимно отталкиваются и, следовательно, стремятся расположиться на наибольшем расстоянии друг от друга.

Представим себе небольшую цилиндрическую поверхность, образованную нормалями к поверхности проводника и основаниями величины dS, одно из которых расположено внутри, а другое вне проводника (рис. 24.1). Поток вектора электрического смещения через внутреннюю часть поверхности равен нулю, так как внутри проводника Е, а значит и D, равно нулю. Вне проводника в непосредственной близости к нему напряженность поля Е направлена по нормали к поверхности. Поэтому для выступающей наружу боковой поверхности цилиндра а для внешнего основания (внешнее основание предполагается расположенным очень близко к поверхности проводника). Следовательно, поток смещения через рассматриваемую поверхность равен , где D - величина смещения в непосредственной близости к поверхности проводника. Внутри цилиндра содержится сторонний заряд ( - плотность заряда в данном месте поверхности проводника). Применив теорему Гаусса, получим: Отсюда следует, что напряженность поля вблизи поверхности проводника равна

где - диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник (ср. с формулой (14.6), полученной для случая )

Рассмотрим поле, создаваемое изображенным на рис. 24.2 заряженным проводником. На больших расстояниях от проводника эквипотенциальные поверхности имеют характерную для точечного заряда форму сферы (на рисунке из-за недостатка места сферическая поверхность изображена на небольшом расстоянии от проводника; пунктиром показаны линии напряженности поля). По мере приближения к проводнику эквипотенциальные поверхности становятся все более сходными с поверхностью проводника, которая является эквипотенциальной. Вблизи выступов эквипотенциальные поверхности располагаются гуще, значит, и напряженность поля здесь больше. Отсюда следует, что плотность зарядов на выступах особенно велика (см. (24.3)). К такому же выводу можно прийти, учтя, что из-за взаимного отталкивания заряды стремятся расположиться как можно дальше друг от друга.

Вблизи углублений в проводнике эквипотенциальные поверхности расположены реже (см. рис. 24.3). Соответственно напряженность поля и плотность зарядов в этих местах будут меньше. Вообще, плотность зарядов при данном потенциале проводника определяется кривизной поверхности - она растет с увеличением положительной кривизны (выпуклости) и убывает с увеличением отрицательной кривизны (вогнутости). Особенно велика бывает плотность зарядов на остриях. Поэтому напряженность поля вблизи остриев может быть настолько большой, что возникает ионизация молекул газа, окружающего проводник.

Ионы иного знака, чем q, притягиваются к проводнику и нейтрализуют его заряд. Ионы того же знака, что и q, начинают двигаться от проводника, увлекая с собой нейтральные молекулы газа. В результате возникает ощутимое движение газа, называемое электрическим ветром. Заряд проводника уменьшается, он как бы стекает с острия и уносится ветром. Поэтому такое явление называют истечением заряда с острия.

В рамках электростатики мы рассматриваем задачи, в которых распределение зарядов отличается статичностью . Другими словами, такие состояния тел, которые реализуются после того, когда тела рассматриваемых систем пришли в равновесие после некоторых воздействий, например, сообщения заряда, помещения в электрическое поле и т.п. Проводники , в отличие от, диэлектриков, имеют в своем составе свободные носители заряда , которые могут перемещаться по объему проводника. В случае металлов такими носителями заряда являются электроны. Скорость их перемещения по металлу весьма высока, поэтому металлы приходят в равновесие в очень малые доли секунды. В случае других материалов может оказаться, что переход в равновесие происходит гораздо медленнее, однако мы сейчас будем рассматривать ситуации, когда равновесие достигнуто.

В состоянии равновесия выполняются следующие условия:

1. Напряженность поля внутри проводника была равна нулю: .

2. На поверхности (вблизи, в непосредственной окрестности…) проводника напряженность электрического поля перпендикулярна поверхности.

Эти условия являются следствиями наличия в проводнике свободных носителей заряда. Действительно, в равновесии перемещение зарядов должно отсутствовать, а, значит, напряженность поля внутри проводника должна быть равна нулю. Следствием этого условия является утверждение о том, что все точки проводника должны иметь одинаковый потенциал, и поверхность проводника является эквипотенциальной .

Поскольку внутри проводника в равновесии не может быть некомпенсированных зарядов (они создавали бы ненулевое поле внутри проводника), то заряд сообщаемый проводнику, располагается в очень тонком слое проводника вблизи поверхности, т.е. на поверхности проводника .

На поверхности проводника у вектора напряженности электрического поля должна отсутствовать тангенциальная (направленная по касательной к поверхности составляющая) составляющая . При ее наличии должно было бы происходить движение зарядов вдоль поверхности, чего в равновесии не может быть. Это утверждение справедливо для любого направления, поэтому вектор напряженностидолжен быть перпендикулярен поверхности .

Заряд, сообщенный проводнику, располагается на его поверхности с плотностью . Поток вектора электрической индукции через поверхность цилиндра, показанного на рисунке 16.1, по теореме Гаусса должен быть равен величине свободного заряда, заключенного внутри поверхности – . Однако поток через боковую поверхность отсутствует, поскольку вектор напряженности (а значит и вектор индукции) параллелен ей, поток через основание внутри проводника отсутствует – там нет электрического поля, а поток через внешнее основание равен . Поэтому

Представим уединенный проводник которому сообщен некоторый заряд. На большом, по сравнению с размерами проводника, расстоянии от него, независимо от формы проводника, его можно считать точечным заряженным телом . Эквипотенциальные поверхности точечного заряда являются сферами. Вблизи проводника эквипотенциальные поверхности должны приблизительно повторять его форму. Вследствие этого вблизи концов проводника эквипотенциальные поверхности сгущаются. Это означает, что потенциал в этих точках пространства изменяется быстро, а напряженность поля, соответственно достигает больших значений. Вследствие большой напряженности поля вблизи острых концов проводников возможно возникновение газового разряда, сопровождающегося стеканием заряда с проводника. По этой причиной элементы высоковольтных линий электропередач обязательно выполняются с округлыми поверхностями.

При помещении проводника во внешнее поле свободные заряды проводника смещаются до тех пор, пока не будут выполнены условия равновесия. При этом на различных участках проводника возникают заряды, распределенные по его поверхности с некоторой плотностью так, чтобы выполнялись условия равновесия. Эти заряды называют индуцированными, а само явление их возникновения – электрической индукцией (не путать с вектором электрической индукции!).