Спектральная плотность и ее свойства. Теоремы о спектрах. Спектральная плотность сигналов

Главная / Земля

Пусть сигнал s (t ) задан в виде непериодической функции, причем он существует только на интервале (t 1 ,t 2) (пример - одиночный импульс). Выберем произвольный отрезок времени T , включающий в себя интервал (t 1 ,t 2) (см. рис.1).

Обозначим периодический сигнал, полученный из s (t ), в виде (t ). Тогда для него можно записать ряд Фурье

Для того, чтобы перейти к функции s (t ) следует в выражении (t ) устремить период к бесконечности. При этом число гармонических составляющих с частотами w =n 2p /T будет бесконечно велико, расстояние между ними будет стремиться к нулю (к бесконечно малой величине:

амплитуды составляющих также будут бесконечно малы. Поэтому говорить о спектре такого сигнала уже нельзя,т.к.спектр становится сплошным.

Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают т.е.

Пределы интегрирования можно для общности поставить бесконечными, так как все равно там, где s(t) равна нулю, и интеграл равен нулю.

Выражение для спектральной плотности называют прямым преобразованием Фурье. Обратное преобразование Фурье определяет временную функцию сигнала по его спектральной плотности

рямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности

определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргумент называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ - нечетной.

Смысл модуля S (w ) определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту w . Его размерность - [сигнал/частота].

Энергетический спектр сигнала. Если функция s(t) имеет фурье-плотность мощности сигнала (спектральная плотность энергии сигнала ) определяется выражением:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Спектр мощности W()-вещественная неотрицательная четная функция, которую обычно называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектральной плотности сигнала, не содержит фазовой информации о его частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности. Последнее позволяет получить выражение для энергетического спектра непосредственно из выражений (5.2.7). В пределе, для одинаковых сигналов u(t) и v(t) при сдвиге t 0, мнимая часть спектра Wuv () стремится к нулевым значениям, а реальная часть - к значениям модуля спектра. При полном временном совмещении сигналов имеем:

т.е. энергия сигнала равна интегралу квадрата модуля его частотного спектра - сумме энергии его частотных составляющих, и всегда является вещественной величиной.

Для произвольного сигнала s(t) равенство

обычно называют равенством Парсеваля (в математике – теоремой Планшереля, в физике – формулой Релея). Равенство очевидно, так как координатное и частотное представления по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия двух сигналов:

Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:

В целом ряде чисто практических задач регистрации и передачи сигналов энергетический спектр сигнала имеет весьма существенное значение. Периодические сигналы переводятся в спектральную область в виде рядов Фурье. Запишем периодический сигнал с периодом Т в виде ряда Фурье в комплексной форме:

Интервал 0-Т содержит целое число периодов всех подынтегральных экспонент, и равен нулю, за исключением экспоненты при k = -m, для которой интеграл равен Т. Соответственно, средняя мощность периодического сигнала равна сумме квадратов модулей коэффициентов его ряда Фурье:

Энергетический спектр сигнала – это распределение энергии базисных сигналов, которые составляют негармонический сигнал, на оси частот. Математически энергетический спектр сигнала равен квадрату модуля спектральной функции:

Соответственно амплитудно-частотный спектр показывает множество амплитуд составляющих базисных сигналов на частотной оси, а фазо-частотный – множество фаз

Модуль спектральной функции часто называют амплитудным спектром , а ее аргумент – фазовым спектром .

Кроме того, существует и обратное преобразование Фурье, позволяющее восстановить исходный сигнал, зная его спектральную функцию:

Например, возьмем прямогульный импульс:

Еще один пример спектров:

Частота Найквиста, теорема Котельникова .

Частота Найквиста - в цифровой обработке сигналов частота, равная половине частоты дискретизации. Названа в честь Гарри Найквиста. Из теоремы Котельникова следует, что при дискретизации аналогового сигнала потерь информации не будет только в том случае, если спектр (спектральная плотность)(наивысшая частота полезного сигнала) сигнала равен или ниже частоты Найквиста. В противном случае при восстановлении аналогового сигнала будет иметь место наложение спектральных «хвостов» (подмена частот, маскировка частот), и форма восстановленного сигнала будет искажена. Если спектр сигнала не имеет составляющих выше частоты Найквиста, то он может быть (теоретически) продискретизирован и затем восстановлен без искажений. Фактически «оцифровка» сигнала (превращение аналогового сигнала в цифровой) сопряжена с квантованием отсчѐтов - каждый отсчѐт записывается в виде цифрового кода конечной разрядности, в результате чего к отсчетам добавляются ошибки квантования (округления), при определенных условиях рассматриваемые как «шум квантования».

Реальные сигналы конечной длительности всегда имеют бесконечно широкий спектр, более или менее быстро убывающий с ростом частоты. Поэтому дискретизация сигналов всегда приводит к потерям информации (искажению формы сигнала при дискретизации-восстановлении), как бы ни была высока частота дискретизации. При выбранной частоте дискретизации искажение можно уменьшить, если обеспечить подавление спектральных составляющих аналогового сигнала (до дискретизации), лежащих выше частоты Найквиста, для чего требуется фильтр очень высокого порядка, чтобы избежать наложения «хвостов». Практическая реализация такого фильтра весьма сложна, так как амплитудно-частотные характеристики фильтров имеют не прямоугольную, а гладкую форму, и образуется некоторая переходная полоса частот между полосой пропускания и полосой подавления. Поэтому частоту дискретизации выбирают с запасом, к примеру, в аудио компакт-дисках используется частота дискретизации 44100 Герц, в то время как высшей частотой в спектре звуковых сигналов считается частота 20000 Гц. Запас по частоте Найквиста в 44100 / 2 - 20000 = 2050 Гц позволяет избежать подмены частот при использовании реализуемого фильтра невысокого порядка.

Теорема Котельникова

Для того, чтобы восстановить исходный непрерывный сигнал из дискретизированного с малыми искажениями (погрешностями), необходимо рационально выбрать шаг дискретизации. Поэтому при преобразовании аналогового сигнала в дискретный обязательно возникает вопрос о величине шага дискретизации Интуитивно нетрудно понять следующую идею. Если аналоговый сигнал обладает низкочастотным спектром, ограниченным некоторой верхней частотой Fe, (т.е. функция u(t) имеет вид плавно изменяющейся кривой, без резких изменений амплитуды), то вряд ли на некотором небольшом временном интервале дискретизации эта функция может существенно изменяться по амплитуде. Совершенно очевидно, что точность восстановления аналогового сигнала по последовательности его отсчетов зависит от величины интервала дискретизации Чем он короче, тем меньше будет отличаться функция u(t) от плавной кривой, проходящей через точки отсчетов. Однако с уменьшением интервала дискретизации существенно возрастает сложность и объем обрабатывающей аппаратуры. При достаточно большом интервале дискретизации возрастает вероятность искажения или потери информации при восстановлении аналогового сигнала. Оптимальная величина интервала дискретизации устанавливается теоремой Котельникова (другие названия - теорема отсчетов, теорема К. Шеннона, теорема X. Найквиста: впервые теорема была открыта в математике О. Коши, а затем описана повторно Д. Карсоном и Р. Хартли), доказанной им в 1933 г. Теорема В. А. Котельникова имеет важное теоретическое и практическое значение: дает возможность правильно осуществить дискретизацию аналогового сигнала и определяет оптимальный способ его восстановления на приемном конце по отсчетным значениям.

Согласно одной из наиболее известных и простых интерпретаций теоремы Котельникова, произвольный сигнал u(t), спектр которого ограничен некоторой частотой Fe может - быть полностью восстановлен по последовательности своих отсчетных значений, следующих с интервалом времени

Интервал дискретизации и частоту Fe (1) в радиотехнике часто называют соответственно интервалом и частотой Найквиста. Аналитически теорема Котельникова представляется рядом

где k - номер отсчета; - значение сигнала в точках отсчета - верхняя частота спектра сигнала.

Частотное представление дискретных сигналов .

Большинство сигналов можно представить в виде ряда Фурье:

Функция не является периодической, поэтому она не может быть разложена в ряд Фурье. С другой стороны, функция из-за неограниченной длительности не интегрируема и поэтому не может быть представлена интегралом Фурье. Для избежания этих трудностей вводится вспомогательная функция , которая совпадает с функцией на интервале и равна нулю вне этого интервала:

(5.15)

Функция интегрируема и для нее существует прямое преобразование Фурье (интеграл Фурье):

(5.16)

Спектральной плотностью мощности случайного сигнала (или просто спектральной плотностью ) называется функция вида:

(5.17)

Спектральная плотность - это функция, характеризующая распределение средних значений квадратов амплитуд гармоник сигнала. Спектральная плотность обладает следующими свойствами:

1. Чем быстрее изменяется стационарный случайный процесс, тем шире график .

2. Отдельные пики на графике спектральной плотности свидетельствуют о наличии у случайного сигнала периодических составляющих.

3. Спектральная плотность является четной функцией:

(5.18)

Спектральная плотность связана с дисперсией сигнала следующим соответствием:

(5.19)

Экспериментально спектральная плотность определяется (вычисляется) по следующей схеме:

Рис. 5.6.

Спектральная плотность связана с корреляционной функцией следующим выражением (по теореме Хинчина-Винера):

(5.20)

(5.21)

Если разложить множители и с помощью формулы Эйлера и учесть, что , и являются четными функциями, а - нечетная функция, то выражения (5.20), (5.21) можно преобразовать к следующему виду:

(5.22)

(5.23)

Выражения (5.23), (5.24) применяют в практических расчетах. Нетрудно заметить, что при выражение (5.24) определяет дисперсию стационарного случайного процесса.:

(5.24)

Соотношения, связывающие корреляционную функцию и спектральную плотность, обладают всеми присущими преобразованию Фурье свойствами и определяют следующие сравнительные характеристики: чем шире график , тем уже график , и наоборот, чем быстрее убывает функция , тем медленнее уменьшается функция . Эту взаимосвязь иллюстрируют графика на рис (5.7), (5.8)

Рис. 5.7.

Рис. 5.8.

Линии 1 на обоих рисунках соответствуют медленно меняющемуся случайному сигналу, в спектре которого преобладают низкочастотные гармоники. Линии 2 соответствуют быстроменяющемуся сигналу, в спектре которого преобладают высокочастотные гармоники.

Если случайный сигнал изменяется во времени очень резко и между его предыдущими и последующими значениями корреляция практически отсутствует, то корреляционная функция имеет вид дельта-функции (линия 3). График спектральной плотности в этом случае представляет горизонтальную прямую в диапазоне. Это указывает на то, что амплитуды гармоник во всем диапазоне частот одинаковы. Такой сигнал называется белым шумом (по аналогии с белым светом, у которого, как известно, интенсивность всех компонент одинакова).

Понятие «белого шума» является математической абстракцией. Физически сигналы в виде белого шума неосуществимы, так как бесконечно широкому спектру соответствует бесконечно большая дисперсия, а следовательно, бесконечно большая мощность. Однако часто реальные системы с конечным спектром можно приближенно рассматривать как белый шум. Это упрощение правомерно в тех случаях, когда спектр сигнала значительно шире полосы пропускания системы, на которую действует сигнал.

Математические модели многих сигналов, широко применяемых в радиотехнике, не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости, поэтому метод преобразований Фурье в обычном виде к ним неприменим. Однако, как указывалось, можно говорить о спектральных плотностях таких сигналов, если допустить, что эти плотности описываются обобщенными функциями.

Обобщенная формула Рэлея. Докажем важное вспомогательное положение, касающееся спектральных свойств сигналов.

Пусть два сигнала в общем случае комплекснозначные, определены своими обратными преобразованиями Фурье:

Найдем скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например через его спектральную плотность:

Здесь внутренний интеграл представляет собой, очевидно, спектральную плотность сигнала . Поэтому

Полученное соотношение представляет собой обобщенную формулу Рэлея. Легко запоминающаяся трактовка этой формулы такова: скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.

Обобщение понятия спектральной плотности.

Будем считать, что сигнал представляет собой абсолютно интегрируемую функцию. Тогда его преобразование Фурье - обычная классическая функция частоты. Пусть наряду с этим сигнал не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости и в обычном классическом смысле преобразование Фурье не существует. Однако можно расширить понятие спектральной плотности, допустив, что является обобщенной функцией в том смысле, который был установлен в § 1.2. Для этого в соответствии с обобщенной формулой Рэлея достаточно положить, что - функционал, который, действуя на известную функцию , дает следующий результат:

Приемы вычисления спектров неинтегрируемых сигналов целесообразно рассмотреть на конкретных примерах.

Спектральная плотность постоянного во времени сигнала. Простейший неинтегрируемый сигнал - это постоянная величина и . Предположим, что - произвольный вещественный абсолютно интегрируемый сигнал с известной спектральной плотностью

Раскрывая формулу (2.43), имеем

Но, как легко заметить,

Отсюда на основании фильтрующего свойства дельтафункции приходим к выводу, что равенство (2.43) возможно лишь при условии, что

Физический смысл полученного результата нагляден - неизменный во времени сигнал имеет спектральную составляющую только на нулевой частоте.

Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала.

Пусть - комплексный экспоненциальный сигнал с заданной вещественной частотой Этот сигнал не является абсолютно интегрируемым, поскольку при функция s(t) не стремится ни к какому пределу. Преобразование Фурье этого сигнала, рассматриваемое в обобщенном смысле, должно удовлетворять соотношению

Отсюда искомая спектральная плотность S (со), выражается таким образом:

Отметим следующее:

1. Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала равна нулю всюду, кроме точки где она имеет дельта-особенность.

2. Спектр данного сигнала несимметричен относительно точки и сосредоточивается в области либо положительных, либо отрицательных частот.

Спектральная плотность гармонических колебаний. Пусть По формуле Эйлера

Найденный выше спектр комплексного экспоненциального сигнала, а также свойство линейности преобразования Фурье позволяют сразу записать выражение спектральной плотности косинусоидального сигнала:

Читатель может легко проверитьсамостоятельно, что для синусоидального сигнала справедливо соотношение

Следует заметить, что выражение (2.46) представляет собой четную, а выражение (2.47) - нечетную функцию частоты.

Спектральная плотность произвольного периодического сигнала.

Ранее периодические сигналы исследовались методами теории рядов Фурье. Теперь можно расширить представления об их спектральных свойствах, описав периодические сигналы с помощью преобразования Фурье.

Периодический сигнал, заданный своим рядом Фурье в комплексной форме. На основании формулы (2.45), принимая во внимание свойство линейности преобразования Фурье, сразу получаем выражение спектральной плотности такого сигнала:

Соответствующий график спектральной плотности своей конфигурацией повторяет обычную спектральную диаграмму периодического сигнала. График образован дельта-импульсами в частотной области, которые располагаются в точках с координатами

Спектральная плотность функции включения.

Вычислим спектральную плотность функции включения , которую для простоты определим во всех точках, кроме точки t = 0 [ср. с (1.2)]:

Заметим прежде всего, что функция включения получается путем предельного перехода из экспоненциального видеоимпульса:

Поэтому можно попытаться получить спектральную плотность функции включения, выполнив предельный переход при а- О в формуле спектральной плотности экспоненциального колебания:

Непосредственный переход к пределу, согласно которому справедлив при всех частотах, кроме значения , когда необходимо более тщательное рассмотрение.

Прежде всего выделим в спектральной плотности экспоненциального сигнала вещественную и мнимую части:

Можно убедиться в том, что

Действительно, предельное значение этой дроби при любых обращается в нуль, и в то же ремя

независимо от величины а, откуда и следует сделанное утверждение.

Итак, получено взаимно однозначное соответствие функции включения и ее спектральной плотности:

Дельта-особенность при свидетельствует о том, что функция включения имеет постоянную составляющую, равную 1/2.

Спектральная плотность радиоимпульса.

Как известно, радиоимпульс задается в виде произведения некоторого видеоимпульса играющего роль огибающей, и неинтегрируемого гармонического колебания: .

Чтобы найти спектральную плотность радиоимпульса, будем полагать известной функцию - спектр его огибающей. Спектр косинусоидального сигнала с произвольной начальной фазой получается путем элементарного обобщения формулы (2.46):

Спектр радиоимпульса есть свертка

Приняв во внимание фильтрующее свойство дельтафункции, получаем важный результат:

Рис. 2.8 иллюстрирует трансформацию спектра видеоимпульса при умножении его на высокочастотный гармонический сигнал.

Рис. 2.8. Частотные зависимости модуля спектральной плотности: а - видеоимпульса; б - радиоимпульса

Видно, что переход от видеоимпульса к радиоимпульсу при спектральном подходе означает перенос спектра видеоимпульса в область высоких частот - вместо единственного максимума спектральной плотности при наблюдаются два максимума при абсолютные значения максимумов сокращаются вдвое.

Отметим, что графики на рис. 2.8 отвечают ситуации, когда частота значительно превышает эффективную ширину спектра видеоимпульса (именно такой случай обычно и реализуется на практике). При этом не наблюдается ощутимого «перекрытия» спектров, отвечающих положительным и отрицательным частотам. Однако может оказаться, что ширина спектра видеоимпульса велика настолько (при коротком импульсе), что выбранное значение частоты не устраняет эффект «перекрытия». Как следствие, профили спектров видеоимпульса и радиоимпульса перестают быть подобными.

Пример 2.3. Спектральная плотность прямоугольного радиоимпульса.

Для простоты положим начальную фазу нулевой и запишем математическую модель радиоимпульса в виде

Зная спектр соответствующего видеоимпульса [см. формулу (2.20)], на основании (2.50) находим искомый спектр:

На рис. 2.9 изображены результаты расчета спектральной плотности по формуле (2.51) для двух характерных случаев,

В первом случае (рис. 2.9,а) импульс огибающей содержит 10 периодов высокочастотного заполнения частота здесь достаточно высока для того, чтобы избежать «перекрытия». Во втором случае (рис. 2.9, б) радиоимпульс состоит всего лишь из одного периода заполнения Наложение составляющих, которые соответствуют областям положительных и отрицательных частот, приводит к характерной асимметрии лепестковой структуры графика спектральной плотности радиоимпульса.

Рис. 2.9. Графики спектральных плотностей радиоимпульса с прямоугольной огибающей: а - при ; б - при

Обозначим периодический сигнал, полученный из s (t ), в виде s T (t ). Тогда для него можно записать ряд Фурье

где

Подставим выражение для в ряд:

Для того, чтобы перейти к функции s (t ) следует в выражении s T (t ) устремить период к бесконечности. При этом число гармонических составляющих с частотами w =n 2p /T будет бесконечно велико, расстояние между ними будет стремиться к нулю (к бесконечно малой величине: , амплитуды составляющих также будут бесконечно малы. Поэтому говорить о спектре такого сигнала уже нельзя, т.к. спектр становится сплошным .

При предельном переходе в случае Т => , имеем:

Таким образом, в пределе получаем

Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают ,

рямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргумент называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ - нечетной.

9. Свойства преобразования Фурье. Свойства линейности, изменения масштаба времени, другие. Теореме о спектре производной. Теорема о спектре интеграла.

10. Дискретное преобразование Фурье. Помехи радиоприёму. Классификация помех.

Дискретное преобразование Фурье может быть получено непосредственно из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (t k = kDt, f n = nDf):

S(f) = s(t) exp(-j2pft) dt, S(f n) = Dt s(t k) exp(-j2pf n kDt), (6.1.1)

s(t) = S(f) exp(j2pft) df, s(t k) = Df S(f n) exp(j2pnDft k). (6.1.2)

Напомним, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте - к периодизации функции. Не следует также забывать, что значения (6.1.1) числового ряда S(f n) являются дискретизаций непрерывной функции S"(f) спектра дискретной функции s(t k), равно как и значения (6.1.2) числового ряда s(t k) являются дискретизацией непрерывной функции s"(t), и при восстановлении этих непрерывных функций S"(f) и s"(t) по их дискретным отсчетам соответствие S"(f) = S(f) и s"(t) = s(t) гарантировано только при выполнении теоремы Котельникова-Шеннона.

Для дискретных преобразований s(kDt) Û S(nDf), и функция, и ее спектр дискретны и периодичны, а числовые массивы их представления соответствуют заданию на главных периодах Т = NDt (от 0 до Т или от -Т/2 до Т/2), и 2f N = NDf (от -f N до f N), где N – количество отсчетов, при этом:

Df = 1/T = 1/(NDt), Dt = 1/2f N = 1/(NDf), DtDf = 1/N, N = 2Tf N . (6.1.3)

Соотношения (6.1.3) являются условиями информационной равноценности динамической и частотной форм представления дискретных сигналов. Другими словами: число отсчетов функции и ее спектра должны быть одинаковыми. Но каждый отсчет комплексного спектра представляется двумя вещественными числами и, соответственно, число отсчетов комплексного спектра в 2 раза больше отсчетов функции? Это так. Однако представление спектра в комплексной форме - не более чем удобное математическое представление спектральной функции, реальные отсчеты которой образуются сложением двух сопряженных комплексных отсчетов, а полная информация о спектре функции в комплексной форме заключена только в одной его половине - отсчетах действительной и мнимой части комплексных чисел в частотном интервале от 0 до f N , т.к. информация второй половины диапазона от 0 до -f N является сопряженной с первой половиной и никакой дополнительной информации не несет.

При дискретном представлении сигналов аргумент t k обычно проставляется номерами отсчетов k (по умолчанию Dt = 1, k = 0,1,…N-1), а преобразования Фурье выполняются по аргументу n (номер шага по частоте) на главных периодах. При значениях N, кратных 2:

S(f n) º S n = s k exp(-j2pkn/N), n = -N/2,…,0,…,N/2. (6.1.4)

s(t k) º s k = (1/N) S n exp(j2pkn/N), k = 0,1,…,N-1. (6.1.5)

Главный период спектра в (6.1.4) для циклических частот от -0.5 до 0.5, для угловых частот от -p до p. При нечетном значении N границы главного периода по частоте (значения ±f N) находятся на половину шага по частоте за отсчетами ±(N/2) и, соответственно, верхний предел суммирования в (6.1.5) устанавливается равным N/2.

В вычислительных операциях на ЭВМ для исключения отрицательных частотных аргументов (отрицательных значений номеров n) и использования идентичных алгоритмов прямого и обратного преобразования Фурье главный период спектра обычно принимается в интервале от 0 до 2f N (0 £ n £ N), а суммирование в (6.1.5) производится соответственно от 0 до N-1. При этом следует учитывать, что комплексно сопряженным отсчетам S n * интервала (-N,0) двустороннего спектра в интервале 0-2f N соответствуют отсчеты S N+1- n (т.е. сопряженными отсчетами в интервале 0-2f N являются отсчеты S n и S N+1- n).

Пример: На интервале Т= , N=100, задан дискретный сигнал s(k) = d(k-i) - прямоугольный импульс с единичными значениями на точках k от 3 до 8. Форма сигнала и модуль его спектра в главном частотном диапазоне, вычисленного по формуле S(n) = s(k)×exp(-j2pkn/100) с нумерацией по n от -50 до +50 с шагом по частоте, соответственно, Dw=2p/100, приведены на рис. 6.1.1.

Рис. 6.1.1. Дискретный сигнал и модуль его спектра.

На рис. 6.1.2 приведена огибающая значений другой формы представления главного диапазона спектра. Независимо от формы представления спектр периодичен, в чем нетрудно убедиться, если вычислить значения спектра для большего интервала аргумента n с сохранением того же шага по частоте, как это показано на рис. 6.1.3 для огибающей значений спектра.

Рис. 6.1.2. Модуль спектра. Рис. 6.1.3. Модуль спектра.

На рис. 6.1.4. показано обратное преобразование Фурье для дискретного спектра, выполненное по формуле s"(k) =(1/100) S(n)×exp(j2pkn/100), которое показывает периодизацию исходной функции s(k), но главный период k={0,99} этой функции полностью совпадает с исходным сигналом s(k).

Рис. 6.1.4. Обратное преобразование Фурье.

Преобразования (6.1.4-6.1.5) называют дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ). Для ДПФ, в принципе, справедливы все свойства интегральных преобразований Фурье, однако при этом следует учитывать периодичность дискретных функций и спектров. Произведению спектров двух дискретных функций (при выполнении каких-либо операций при обработке сигналов в частотном представлении, как, например, фильтрации сигналов непосредственно в частотной форме) будет соответствовать свертка периодизированных функций во временном представлении (и наоборот). Такая свертка называется циклической (см. раздел 6.4) и ее результаты на концевых участках информационных интервалов могут существенно отличаться от свертки финитных дискретных функций (линейной свертки).

Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложения и соответственно N 2 операций на полное выполнение ДПФ. При больших объемах массивов данных это может приводить к существенным временным затратам. Ускорение вычислений достигается при использовании быстрого преобразования Фурье.

Помехи

Помехами обычно называют посторонние электрические возмущения, накладывающиеся на передаваемый сигнал и затрудняющие его прием. При большой интенсивности помех прием становится практически невозможным.

Классификация помех:

а) помехи от соседних радиопередатчиков (станций);

б) помехи от промышленных установок;

в) атмосферные помехи (грозы, осадки);

г) помехи, обусловленные прохождением электромагнитных волн через слои атмосферы: тропосферу, ионосферу;

д) тепловые и дробовые шумы в элементах радиоцепей, обусловленные тепловым движением электронов.

Математически сигнал на входе приемника можно представить либо в виде суммы передаваемого сигнала и помехи, и тогда помеху называют аддитивной , либо просто шумом , либо в виде произведения передаваемого сигнала и помехи, и тогда такую помеху называют мультипликативной . Эта помеха приводит к значительным изменениям интенсивности сигнала на входе приемника и объясняет такие явления как замирания .

Наличие помех затрудняет прием сигналов при большой интенсивности помех, распознавание сигнала может стать практически невозможным. Способность системы противостоять мешающему воздействию помехи носит название помехоустойчивости .

Внешние естественные активные помехи представляют собой шумы, возникающие в результате радиоизлучения земной поверхности и космических объектов, работы других радиоэлектронных средств. Комплекс мероприятий, направленных на уменьшение влияния взаимных помех РЭС, называется электомагнитной совместимостью. Этот комплекс включает в себя как технические меры совершенствования радиоаппаратуры, выбор формы сигнала и способа его обработки, так и организационные меры: регламентация частоты, разнесение РЭС в пространстве, нормирование уровня внеполосных и побочных излучений и др.

11. Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова (отсчётов). Понятие частоты Найквиста. Понятие интервала дискретизации.

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье .

Если процесс имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) e − i 2 π f t d t . {\displaystyle X(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt.}

(1)

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия

E x = ∫ − ∞ ∞ | x (t) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X (f) | 2 d f . {\displaystyle E_{x}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}df.}

(2)

Функция S x (f) = | X (f) | 2 {\displaystyle S_{x}(f)=|X(f)|^{2}} характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу x (t) {\displaystyle x(t)} , реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

S x (f) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) e − i 2 π f τ d τ . {\displaystyle S_{x}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau)e^{-i2\pi f\tau }d\tau .}

(3)

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье , которое по известной определяет k x (τ) {\displaystyle k_{x}(\tau)} :

k x (τ) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) e i 2 π f τ d f . {\displaystyle k_{x}(\tau)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)e^{i2\pi f\tau }df.}

(4)

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно f = 0 {\displaystyle f=0} и τ = 0 {\displaystyle \tau =0} , имеем

S x (0) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) d τ , {\displaystyle S_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau)d\tau ,}

(5)

σ x 2 = k x (0) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) d f . {\displaystyle \sigma _{x}^{2}=k_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)df.}

(6)

Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину S x (f) d f {\displaystyle S_{x}(f)df} можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f − d f / 2 {\displaystyle f-df/2} до f + d f / 2 {\displaystyle f+df/2} . Если понимать под x (t) {\displaystyle x(t)} случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} будет иметь размерность энергии [В 2 /Гц] = [В 2 с]. Поэтому S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} иногда называют энергетическим спектром . В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: σ x 2 {\displaystyle \sigma _{x}^{2}} – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} называют спектром мощности случайного процесса.

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

Спектр и спектральная плотность

Спектральная плотность прямоугольного импульса

Спектральная плотность треугольного импульса