Скорость, ускорение и сила

Ско́рость в физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки относительно выбранной системы отсчёта; по определению, равна производной радиус-вектора точки по времени.

Скорость в широком смысле - быстроту изменения какой-либо величины (не обязательно радиус-вектора) в зависимости от другой (чаще подразумеваются изменения во времени, но также в пространстве или любой другой). Так, например, говорят об угловой скорости, скорости изменения температуры, скорости химической реакции, групповой скорости, скорости соединения и т. д. Математически «быстрота изменения» характеризуется производной рассматриваемой величины.

Ускоре́ние обозначается - быстрота изменения скорости, то есть первая производная от скорости по времени,векторная величина, показывающая, на сколько изменяется вектор скорости тела при его движении за единицу времени:

ускорение является вектором, то есть учитывает не только изменение величины скорости (модуля векторной величины), но и изменение её направления. В частности, ускорение тела, движущегося по окружности с постоянной по модулю скоростью, не равно нулю; тело испытывает постоянное по модулю (и переменное по направлению) ускорение, направленное к центру окружности (центростремительное ускорение).

Единицей ускорения в Международной системе единиц (СИ) служит метр в секунду за секунду (m/s2, м/с2),

Производная ускорения по времени, то есть величина, характеризующая скорость изменения ускорения, называется рывок:

Где - вектор рывка.

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Среднее ускорение

Среднее ускорение> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

где – вектор ускорения.

Направление вектора ускорения совпадает с направлением изменения скорости Δ = - 0 (здесь 0 – это начальная скорость, то есть скорость, с которой тело начало ускоряться).

В момент времени t1 (см. рис 1.8) тело имеет скорость 0. В момент времени t2 тело имеет скорость . Согласно правилу вычитания векторов найдём вектор изменения скорости Δ = - 0. Тогда определить ускорение можно так:

В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с2, то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

Направление ускорения также совпадает с направлением изменения скорости Δ при очень малых значениях промежутка времени, за который происходит изменение скорости. Вектор ускорения может быть задан проекциями на соответствующие оси координат в данной системе отсчёта (проекциями аХ, aY, aZ).

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости 2.

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости 2. Иначе говоря, в данном случае происходитзамедление движения, при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

По принципу суперпозиции:

Þ

внутри объёма , вне объёма . (16)

Разность потенциалов

Þ Þ

. (15)

Таким образом, поле заряженных плоскостей однородно и сосредоточено в объёме между плоскостями.

32. Укажите, что мы называем массой (m) тела.

г) Меру инертности тел и их гравитационных свойств.

33. Что называется силой?

б) Причина ускорения тела.

34. Что называется импульсом тела?

а) Произведение массы тела на его скорость ().

35. Укажите единицу измерения импульса тела в системе СИ.

д) кг×м/с.

36. В чем состоит основная прямая задача динамики.

а) По заданной массе тела и зависимости результирующей силы , найти радиус-вектор тела в любой момент времени и определить траекторию движения тела.

37. В чем состоит обратная задача динамики?

б) По заданной массе тела и известной зависимости , определить силы, обеспечившие данное движение.

38. Что мы называем импульсом силы?

в) Величину равную

39. Найдите продолжение фразы «Момент силы это вектор направленный …»

а) параллельно силе.

40. Укажите выражение реактивной силы по отношению к системе координат, связанной с движущимся телом.

41. Какое из представленных ниже соотношений отображает универсальную форму записи основного уравнения динамики поступательного движения?

42. Какое из представленных ниже соотношений отображает универсальную форму записи второго закона Ньютона?

43. От чего зависит изменение импульса тела?

в) От массы тела и скорости его движения.

44. В каких случаях можно воспользоваться следующей формой записи второго закона Ньютона
F = ma?

г) При рассмотрении прямолинейных движений тел постоянной массы.

45. В каких случаях следует пользоваться только следующей формой записи второго закона
Ньютона ?

г) При рассмотрении движения тел неизменной массы.

46. В каких случаях нужно воспользоваться следующей формой записи второго закона Ньютона ?

в) При рассмотрении движения тел переменной массы.

47. Что мы называем центром масс?

а) Это точка, определяемая соотношением

48. На каких рисунках правильно изображены силы реакции опоры?

Б, В

48-а. На каком из рисунков изображено тело,

находящееся в состоянии безразличного равновесия?

51. Какие соотношения соответствуют связям между линейными и угловыми кинематическими характеристиками движения?

52. Как связаны между собой элементарные линейное и угловое перемещения точки, движущейся по окружности?

53. Как направлен вектор угловой скорости секундной стрелки часов, когда Вы смотрите на них?

д) Вдоль оси вращения от нас, если мы смотрим на циферблат.

54. Как направлен вектор углового ускорения, если ось вращения неподвижна?

а) По касательной к траектории движения в сторону вращения, если e > < 0. б) Перпендикулярно к траектории движения к центру кривизны, если e > 0, или в противоположную сторону, если e < 0. в) Вдоль направления движения, если e > 0, или в противоположную сторону, если e < 0. г) Вдоль оси вращения сонаправлено с угловой скоростью, если e > 0, или в противоположную сторону, если e < 0. д) Правильного ответа нет. (Свой вариант ответа)

55. Как направлен вектор угловой скорости?

а) По касательной к траектории движения в сторону вращения, если e > 0, или в противоположную сторону, если e < 0. б) Перпендикулярно к траектории движения к центру кривизны, если e > 0, или в противоположную сторону, если e < 0. в) Вдоль направления движения, если e > 0, или в противоположную сторону, если e < 0. г) Вдоль оси вращения так, чтобы из его конца движение точек тела наблюдалось происходящим против часовой стрелки. д) Правильного ответа нет. (Свой вариант ответа)

56. Что называется вектором углового ускорения?

а) Вектор, характеризующий поворот тела на некоторый угол j, заданный в виде отрезка, длина которого равна j, а направление совпадает с осью вращения. б) Аксиальный вектор, направленный по оси вращения так, что с конца этого вектора видно вращение тела против часовой стрелки. в) Вектор, направленный вдоль оси, вокруг которой вращается тело. г) Физическая величина , характеризующая быстроту изменения вектора угловой скорости тела. д) Вектор, характеризующий неравномерное вращения тела, направленный в ту же сторону, что в , если >0 и в противоположную сторону в противном случае.

57. Что называется вектором угловой скорости (w )?

а) Вектор характеризующий поворот тела на некоторый угол j заданный в виде отрезка, длина которого равна j, а направление совпадаете осью вращения. б) Аксиальный вектор, направленный по оси вращения так, что с конца этого вектора вращение тела видно происходящим против часовой стрелки. в) Вектор , направленный вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в сторону, определяемую правилом правого винта. г) Физическая величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота тела в единицу времени. д) Правильного ответа здесь нет. (Свой вариант)

58. Момент импульса точки

в) Моментом импульса материальной точки называется векторное произведение .

59. В каких единицах измеряется момент силы?

г) кг×м 2 /с 2

60. В каких единицах измеряется момент импульса?

б) кг×м 2 /с

61. В каких единицах измеряется момент инерции?

г) кг×м 2

62. Какое соотношение является универсальной формой записи основного уравнения динамики вращательного движения точки?

63. Какое из уравнений является основным уравнением динамики вращательного движения абсолютно твердого тела?

а) б) в) г) д)

64. Какая из приведенных формул является наиболее общей записью основного закона динамики вращательного движения атт?

а) б) в) г) д)

65. Найдите продолжение фразы «Момент инерции – это …»

а) … инерция в данный момент времени. б) … мера взаимодействия между телами, участвующими во вращательном движении. в) … мера инертности тела в данный момент времени. г) … мера инертности тела при его вращательном движении. д) Правильного продолжения нет. (Свой вариант)

66. Найдите продолжение фразы «Момент силы – это …»

Скорость () - это физическая величина, характеризующая быстроту пространственного перемещения тела и определяемая отношением вектора перемещения к промежутку времени, за которое это перемещении произошло:

. (1)

Модуль вектора скорости
.

Перейдем к понятию средней путевой скорости (это скалярная величина):

(2)

Скорость измеряется в метрах на секунду (м/с ).

Равномерным поступательным называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело проходит равные пути (
).

Ускорение () – физическая величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости и определяемая отношением изменения вектора скорости
к промежутку времени
, за которое оно произошло:

. (3)

Ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате (м/с 2 ).

Равнопеременным , то есть равноускоренным или равнозамедленным, называется движение, при котором ускорение с течением времени остается неизменным (
).

1.1.3. Кинематика вращательного движения

Равномерное движение по окружности (
) не является равноускоренным, хотя и обладает центростремительным ускорением

. (4)

Поскольку центростремительное ускорение направлено по радиусу вращения к центру окружности, а сам радиус при вращательном движении все время меняет свое пространственное положение, то, как векторная величина,
.

Пусть материальная точка движется по окружности радиуса вокруг осии за время
(рис. 3) радиус повернется на угол
.

Рис.3. Вращательное движение

Угловая скорость (
) - это физическая величина, определяемая отношением угла поворота
радиусак промежутку времени
, за которое этот поворот произошел:

. (5)

Особенностью вращательного движения является то, что все точки тела в любой момент времени имеют относительно оси вращения одинаковые угловые скорости
. Угловая скорость измеряется в радианах на секунду (рад/с ).

1.2. Динамика материальной точки

Динамика – раздел физики, изучающий движение тел и причины, вследствие которых движение возникает или изменяется его характер. Динамика оперирует понятиями скорости, ускорения, силы, массы, импульса.

1.2.1. Масса, сила, принцип суперпозиции сил

Масса (
) – мера инертности и гравитационного взаимодействия тел. Масса измеряется в килограммах (кг ).

С массой тесно связано понятие плотности вещества.

Плотность вещества () определяется массой, заключенной в единице объема:

. (6)

Плотность измеряется в килограммах на кубический метр (кг/м 3 ).

Сила () – мера воздействия на тело других тел или полей, в результате чего тело приобретает ускорение или деформируется. Сила - величина векторная. Понятия «сила подействовала» и «тело подействовало» – равнозначны. Сила измеряется в ньютонах (Н ). При действии на тело нескольких сил их равнодействующая находится по правилу сложения векторов.

Правила сложения векторов

Векторной суммой двух векторов
называют вектор, изображаемый диагональю параллелограмма, построенного на составляющих (правило параллелограмма, рис.4,а ).

Теория движения Ньютона и математический язык, который он создал для ее выражения, основана на законе инерции. Галилей, как мы уже говорили, сформулировал закон инерции для горизонтального движения по поверхности Земли: если бы Земля была идеально гладкой сферой, то тело, скользящее без трения по ее поверхности, перемещалось бы с постоянной скоростью вдоль дуги большого круга и в конечном итоге вернулось бы в исходную точку, причем для поддержания этого движения к телу не нужно прикладывать никакой силы.

Ньютон осознал, что этот «закон горизонтальной инерции» не столь прост, как казалось Галилею. Тело, скользящее без трения по гладкой поверхности сферической Земли, на самом деле не движется свободно. На него действуют две противоположно направленные силы: сила земного притяжения, направленная к центру Земли, и реакция опоры, обусловленная давлением тела на земную поверхность. Скорость тела в горизонтальном направлении не меняется, поскольку на тело не действует никакая горизонтально направленная сила. Однако если бы на тело не действовало никаких сил вообще, то оно после того, как ему сообщили начальную скорость, продолжало бы двигаться в соответствующем направлении равномерно и прямолинейно.

Данная фраза представляет собой формулировку первого закона Ньютона. Его можно выразить и более кратко: скорость свободной частицы не меняется со временем. Скорость частицы - это вектор, который характеризуется как величиной, так и направлением. Вектор можно изобразить в виде стрелки, длина которой соответствует мгновенной скорости частицы, а направление параллельно направлению мгновенной скорости частицы в интересующий нас момент времени. Вектор мгновенной скорости частицы всегда направлен по касательной к ее траектории, и если траектория криволинейна, то направление движения непрерывно изменяется. Из первого закона Ньютона следует, что свободная частица не может двигаться по криволинейной траектории - криволинейное движение возможно лишь под действием силы.

Каким образом сила изменяет скорость частицы? Теория движения снарядов, разработанная Галилеем, дает ответ на этот вопрос. Галилей утверждал, что движение тела в вертикальном направлении не зависит от движения в горизонтальном направлении. Вертикальное движение снаряда - равноускоренное, а перемещение вдоль поверхности Земли происходит равномерно.

Ньютон понял, что не только смещение, но и скорость, ускорение и сила представляют собой векторные величины, а законы движения должны описываться как соотношения между векторами.

Камень, вращающийся на веревке, удерживается на круговой орбите силой натяжения веревки. Точно, так же Луна удерживается на своей почти круговой орбите силой притяжения Земли, а планеты удерживаются на своих почти круговых орбитах силой притяжения Солнца. Каждая из этих сил действует в определенном направлении и имеет определенную величину. То же самое справедливо и в отношении других сил. В частности, сила реакции опоры, на которой покоится тело, направлена перпендикулярно поверхности опоры. Сказанное означает, что, подобно смещению, скорости и ускорению, сила - это направленная, т. е. векторная, величина.

При равномерном движении по окружности ускорение и сила, удерживающая частицу на круговой орбите, направлены к центру окружности. Это дает основание для следующего правила: ускорение частицы прямо пропорционально приложенной силе. Опыт показывает, что чем массивнее тело, тем меньшее ускорение сообщает ему данная приложенная сила, например сила со стороны пружины, сжатой до определенного размера.

Ранее рассматривались характеристики прямолинейного движения: перемещение, скорость, ускорение . Их аналогами при вращательном движении являются: угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение .

• Роль перемещения во вращательном движении играет угол ;
• Величина угла поворота за единицу времени - это угловая скорость ;
• Изменение угловой скорости за единицу времени - это угловое ускорение .

Во время равномерного вращательного движения тело совершает движение по окружности с одинаковой скоростью, но с изменяющимся направлением. Например, такое движение совершают стрелки часов по циферблату.

Допустим, шар равномерно вращается на нити длиной 1 метр. При этом он будет описывать окружность с радиусом 1 метр. Длина такой окружности: C = 2πR = 6,28 м

Время, за которое шар полностью делает один полный оборот по окружности, называется периодом вращения - T .

Чтобы вычислить линейную скорость шара, необходимо разделить перемещение на время, т.е. длину окружности на период вращения:

V = C/T = 2πR/T

Период вращения:

T = 2πR/V

Если наш шар будет делать один оборот за 1 секунду (период вращения = 1с), то его линейная скорость:
V = 6,28/1 = 6,28 м/с

2. Центробежное ускорение

В любой точке вращательного движения шара вектор его линейной скорости направлен перпендикулярно радиусу. Нетрудно догадаться, что при таком вращении по окружности, вектор линейной скорости шара постоянно меняет свое направление. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центробежным (центростремительным) ускорением .

Во время равномерного вращательного движения меняется только направление вектора скорости, но не величина! Поэтому линейное ускорение = 0 . Изменение линейной скорости поддерживается центробежным ускорением, которое направлено к центру окружности вращения перпендикулярно вектору скорости - a ц .

Центробежное ускорение можно вычислить по формуле: a ц = V 2 /R

Чем больше линейная скорость тела и меньше радиус вращения, тем центробежное ускорение больше.

3. Центробежная сила

Из прямолинейного движения мы знаем, что сила равна произведению массы тела на его ускорение.

При равномерном вращательном движении на вращающееся тело действует центробежная сила:

F ц = ma ц = mV 2 /R

Если наш шарик весит 1 кг , то для удержания его на окружности понадобится центробежная сила:

F ц = 1·6,28 2 /1 = 39,4 Н

С центробежной силой мы сталкиваемся в повседневной жизни при любом повороте.

Сила трения должна уравновесить центробежную силу:

F ц = mV 2 /R; F тр = μmg

F ц = F тр; mV 2 /R = μmg

V = √μmgR/m = √μgR = √0,9·9,8·30 = 16,3 м/с = 58,5 км/ч

Ответ : 58,5 км/ч

Обратите внимание, что скорость в повороте не зависит от массы тела!

Наверняка вы обращали внимание, что некоторые повороты на шоссе имеют некоторый наклон внутрь поворота. Такие повороты "легче" проходить, вернее, можно проходить с бОльшей скоростью. Рассмотрим какие силы действуют на автомобиль в таком повороте с наклоном. При этом силу трения учитывать не будем, а центробежное ускорение будет компенсироваться только горизонтальной составляющей силы тяжести:

F ц = mV 2 /R или F ц = F н sinα

В вертикальном направлении на тело действует сила тяжести F g = mg , которая уравновешивается вертикальной составляющей нормальной силы F н cosα :

F н cosα = mg , отсюда: F н = mg/cosα

Подставляем значение нормальной силы в исходную формулу:

F ц = F н sinα = (mg/cosα)sinα = mg·sinα/cosα = mg·tgα

Т.о., угол наклона дорожного полотна:

α = arctg(F ц /mg) = arctg(mV 2 /mgR) = arctg(V 2 /gR)

Опять обратите внимание, что в расчетах не участвует масса тела!

Задача №2: на некотором участке шоссе имеется поворот с радиусом 100 метров. Средняя скорость прохождения этого участка дороги автомобилями 108 км/ч (30 м/с). Каким должен быть безопасный угол наклона полотна дороги на этом участке, чтобы автомобиль "не вылетел" (трением пренебречь)?

α = arctg(V 2 /gR) = arctg(30 2 /9,8·100) = 0,91 = 42° Ответ : 42° . Довольно приличный угол. Но, не забывайте, что в наших расчетах мы не принимаем во внимание силу трения дорожного полотна.

4. Градусы и радианы

Многие путаются в понимании угловых величин.

При вращательном движении основной единицей измерения углового перемещения является радиан .

• 2π радиан = 360° - полная окружность
• π радиан = 180° - половина окружности
• π/2 радиан = 90° - четверть окружности

Чтобы перевести градусы в радианы, необходимо значение угла разделить на 360° и умножить на 2π . Например:

• 45° = (45°/360°)·2π = π/4 радиан
• 30° = (30°/360°)·2π = π/6 радиан

Ниже в таблице представлены основные формулы прямолинейного и вращательного движения.