Возрастающая последовательность значений. Числовые последовательности

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число x n , то говорят, что задана числовая последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

Число x 1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности , число x 2 - членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число x n называют членом последовательности с номером n .

Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью и с помощью рекуррентной формулы .

Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности

x 1 , x 2 , … x n , …

с помощью формулы, выражающей зависимость члена x n от его номера n .

Пример 1 . Числовая последовательность

1, 4, 9, … n 2 , …

задана с помощью формулы общего члена

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности x n через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы .

x 1 , x 2 , … x n , …

называют возрастающей последовательностью, больше предшествующего члена.

Другими словами, для всех n

x n + 1 > x n

Пример 3 . Последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, … n , …

является возрастающей последовательностью .

Определение 2. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

x n + 1 < x n

Пример 4 . Последовательность

заданная формулой

является убывающей последовательностью .

Пример 5 . Числовая последовательность

1, - 1, 1, - 1, …

заданная формулой

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями .

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 4. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M .

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

Определение 5. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m .

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

Определение 6. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

m < x n < M

Определение 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными , называют неограниченными последовательностями .

Пример 6 . Числовая последовательность

1, 4, 9, … n 2 , …

заданная формулой

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

ограничена снизу , например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху .

Пример 7 . Последовательность

заданная формулой

является ограниченной последовательностью , поскольку для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Иногда такие последовательности наз. строго возрастающим и, а термин "В. п." применяется к последовательностям, удовлетворяющим для всех плишь условию Такие последовательности наз. также неубывающими. Всякая ограниченная сверху неубывающая последовательность имеет конечный , а всякая не ограниченная сверху имеет бесконечный предел, равный +бесконечн. Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ВОЗРАСТАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ" в других словарях:

возрастающая последовательность - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN ascending sequence … Справочник технического переводчика

Задача поиска наибольшей увеличивающейся подпоследовательности состоит в отыскании наиболее длинной возрастающей подпоследовательности в данной последовательности элементов. Содержание 1 Постановка задачи 2 Родственные алгоритмы … Википедия

Монотонная функция это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется строго монотонной. Содержание 1 Определения 2… … Википедия

Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия

Это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств.… … Википедия

Монотонная последовательность последовательность, удовлетворяющая одному из следующих условий: для любого номера выполняется неравенство (неубывающая последовательность), для любого номера выполняется неравенство (невозрастающая… … Википедия

Раздел теории чисел, в к ром изучаются и метрически (т. е. на основе теории меры)характеризуются множества чисел, обладающих определенными арифметич. свойствами. М. т. ч. тесно связана с теорией вероятностей, что иногда дает возможность… … Математическая энциклопедия

Утверждает, что любая ограниченная возрастающая последовательность имеет предел, причем этот предел равен ее точной верхней грани. Несмотря на простоту доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих… … Википедия

Теорема, дающая оценку плотности суммы двух последовательностей. Пусть А={0, а 1, а.2,. . ., а i, ...} возрастающая последовательность целых чисел и Плотностью последовательности Аназ. величина А р и ф м е т и ч е с к о й суммой двух… … Математическая энциклопедия

Пространство, сопряженное к пространству основных (достаточно хороших) функций. Важную роль здесь играют Фреше пространства (типа FS)и сильно сопряженные к ним (типа DFS). Пространство типа FS есть проективный предел компактной… … Математическая энциклопедия

Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

Любая монотонная ограниченная последовательность { x n } имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup { x n } для неубывающей и точной нижней границе, inf { x n } для невозрастающей последовательности.
Любая монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.

Доказательство

1) неубывающей ограниченной последовательностью .

(1.1) .

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет точную верхнюю границу
.
Это означает, что:

• для всех n ,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Здесь мы также использовали (1.3). Комбинируя с (1.2), находим:
при .
Поскольку , то
,
или
при .
Первая часть теоремы доказана.

2) Пусть теперь последовательность является невозрастающей ограниченной последовательностью :
(2.1) для всех n .

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет точную нижнюю границу
.
Это означает следующее:

• для всех n выполняются неравенства:
  (2.2) ;
• для любого положительного числа , существует такой номер , зависящий от ε , для которого
  (2.3) .

.
Здесь мы также использовали (2.3). Учитывая (2.2), находим:
при .
Поскольку , то
,
или
при .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Вторая часть теоремы доказана.

Теперь рассмотрим неограниченные последовательности.
3) Пусть последовательность является неограниченной неубывающей последовательностью .

Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n выполняются неравенства:
(3.1) .

Поскольку последовательность является неубывающей и неограниченной, то она неограниченна с правой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого
(3.2) .

Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (3.2).

.
Это означает, что предел последовательности равен плюс бесконечности:
.
Третья часть теоремы доказана.

4) Наконец рассмотрим случай, когда является неограниченной невозрастающей последовательностью .

Аналогично предыдущему, поскольку последовательность невозрастающая, то
(4.1) для всех n .

Поскольку последовательность является невозрастающей и неограниченной, то она неограниченна с левой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого
(4.2) .

Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.

Итак, для любого числа M существует такое натуральное число , зависящее от M , так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен минус бесконечности:
.
Теорема доказана.

Пример решения задачи

Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
, , . . . , , . . .
После чего найти ее предел.

Представим последовательность в виде рекуррентных формул:
,
.

Докажем, что заданная последовательность ограничена сверху значением
(П1) .
Доказательство выполняем методом математической индукции.
.
Пусть . Тогда
.
Неравенство (П1) доказано.

Докажем, что последовательность монотонно возрастает.
;
(П2) .
Поскольку , то знаменатель дроби и первый множитель в числителе положительные. В силу ограниченности членов последовательности неравенством (П1), второй множитель также положителен. Поэтому
.
То есть последовательность является строго возрастающей.

Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она является ограниченной последовательностью. Поэтому, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.

Найдем этот предел. Обозначим его через a :
.
Воспользуемся тем, что
.
Применим это к (П2), используя арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей :
.
Условию удовлетворяет корень .

Цель: Дать понятие, определение последовательности, конечной, бесконечной, различные способы задания последовательностей, их различие, научить применять при решении примеров.

Оборудование: Таблицы.

Ход занятия

I. Организационный момент.

II. Фронтальная проверка домашнего задания:

1) ученик на доске задачу № 2.636 (из II части “Сборника заданий для письменного экзамена в 9 кл.)

2) ученик. Построить график

3) фронтально со всем классом № 2.334 (а).

III. Объяснение нового материала.

Школьная лекция – это такая форма организации учебного процесса, которая ориентирует учащихся при изучении той или иной темы на главное и предполагает широкую демонстрацию личностного отношения учителя и учащихся к учебному материалу. Т.к. урок-лекция предусматривает крупноблочное изложение учителем материала, то речевое общение учителя и учащихся является главным в ее технологии. Слово учителя оказывает эмоциональное, эстетическое воздействие и создает определенное отношение к предмету. С помощью лекции осуществляется руководство различными видами деятельности учащихся на занятии, а через знания, умения и навыки формируется познание как основа учебной деятельности.

I. Выпишите в порядке возрастания двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 3.

13; 23; 33;………….93.

Каждому порядковому номеру от 1 до 9 поставьте в соответствие определенное двузначное число:

1->13; 2->23;………9->93.

Между множеством первых девяти натуральных чисел и множеством двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 3, установилось соответствие. Это соответствие является функцией.

Областью определения служит {1; 2; 3;……..9}

Множество значений {13; 23; 33;…….93}.

Если соответствие обозначить f, то

Эту последовательность можно задать с помощью пар.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

б) 1; 0; 1; 0; 1; 0

Таблица № 1

а)

б)

II.

О.о.ф. {1; 2; 3; 4;…..}

М.з.ф. g(1) = ;

g(3) =; …

g(60) =

Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется бесконечной последовательностью.

в) 2; 4; 6; 8; 10;……..

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- члены последовательности.

Замечание: следует различать понятие множества и понятие последовательности.

а) {10; 20; 30; 40}

Одно и то же множество.

{40; 30; 20; 10}

б) однако, последовательности 10; 20; 30; 40

Различны:

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

III. Рассмотрим последовательность:

1) 3; 5; 7; 9; 11;……. -> бесконечная, возрастающая

2) 10; 9; 8; 7; 6. -> конечная, убывающая.

а)

Последовательность называется возрастающей, если каждый член ее, начиная со второго, больше своего предыдущего.

б)

Дается определение убывающей последовательности.

Возрастающие или убывающие последовательности называются монотонными.

1; 0; 1; 0; 1; 0. - колеблющаяся;

5; 5; 5; 5; ….. - постоянная.

IV. Последовательности можно изобразить геометрически. Т.к. последовательности – это функция, областью определения которой служит множество N, то графиком, видимо, является множество точек плоскости (х; у).

Пример: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Построим график этой последовательности

Рисунок 1.

Пример: Докажите, что последовательность, заданная в таком виде

99; 74; 49; 24; -1;……………

является убывающей.

V. Способы задания последовательностей.

Т.к. последовательность – это функция, определенная на множестве N, то существует пять способов задания последовательностей:

I. Табличный

II. Способ описания

III. Аналитический

IV. Графический

V. Рекуррентный

I. Табличный – очень неудобный. Составляем таблицу и по ней определяем, какой член? какое место он занимает……..

II. Способ описания.

Пример: Последовательность такова, что каждый ее член записывается с помощью цифры 4, и число цифр равно номеру числа последовательности.

III. Аналитический способ (с помощью формулы).

Формула, выражающая каждый член последовательности через его номер n, называется формулой n члена последовательности.

например:

и ученики составляют эти последовательности, и наоборот: подберите формулу для членов последовательностей:

а) 1; ; ;…………..
б) ...
в)
г)
д) 1;-2;3;-4;5;-6;………….

IV. Графический способ – тоже не очень удобный, обычно им и не пользуются.