Зоны френеля для сферической волны. Зачем нужны зоны френеля

С давних времён люди заметили отклонение световых лучей при нахождении какого-то препятствия перед ними. Можно обратить внимание на то, как сильно искажается свет при попадании в воду: луч «ломается» из-за так называемого эффекта дифракции света. Дифракцией света называется огибание или искажение света из-за различных факторов вблизи.

Работу подобного явления описал Христиан Гюйгенс. После определённого количества проведённых экспериментов со световыми волнами на водной поверхности, он предложил науке новое объяснение такого феномена и дал ему название “волновой фронт”. Таким образом, Христиан дал возможность понять, как будет вести себя луч света при попадании на какую-то поверхность другого типа.

Его принцип звучит следующим образом:

Точки поверхности, заметные в определённый момент времени, могут быть причиной для вторичных элементов. Площадь, которая прикасается ко всем вторичным волнам, считается волновой сферой в последующие отрезки времени.

Он объяснил, что все элементы следует рассматривать как начало сферических волн, которые имеют название как вторичные волны. Христиан заметил, что волновой фронт по своей сути является совокупностью этих точек касания, отсюда и выплывает весь его принцип. Кроме этого, вторичные элементы представляются сферической формы.

Стоит запомнить, что волновой фронт - это точки геометрического смысла, до которых доходят колебания к определённому моменту времени.

Вторичные элементы Гюйгенса представляются не как настоящие волны, а лишь дополнительные, имеющие форму сферы, используемые не для расчёта, а лишь приблизительного построения. Поэтому эти сферы вторичных элементов по своей сути имеют только огибающее действие, что позволяет образовываться новому волновому фронту. Этот принцип хорошо объясняет работу дифракции света, однако решает вопрос только направления фронта, а не объясняет, откуда появляется амплитуда, интенсивность волн, распыление волн и их обратное действие. Френель использовал принцип Гюйгенса для устранения этих недостатков и дополнения его работы физическим смыслом. Через некоторое время учёный представил свою работу, которая полностью подержалась научным сообществом.

Ещё во времена Ньютона учёные-физики имели некоторое представление о работе дифракции света , но некоторые моменты оставались для них загадкой из-за небольших возможностей технологий и знаний об этом явлении. Так, описать дифракцию на основе корпускулярной теории света было невозможным.

Независимо друг от друга два учёных разрабатывали качественное объяснение этой теории. Французский физик Френель взялся за дополнение принципа Гюйгенса физическим смыслом, так как изначальная теория была представлена только с математической точки зрения. Таким образом, геометрический смысл оптики изменился с помощью трудов Френеля.

Изменения в принципе выглядели так - Френель физическими методами доказал, что вторичные волны интерферируют в точках наблюдения. Свет может быть замечен во всех участках пространства, где сила вторичных элементов умножается под действием интерференции: так, что если замечается затемнение, можно предположить, волны взаимодействуют и нейтрализуются под влиянием друг друга. В случае если вторичные волны попадают в площадь со схожими типами, состояниями и фазами, то замечается сильный всплеск света.

Таким образом, становится понятным, почему нет обратной волны. Так, когда вторичная волна возвращается обратно в пространство, они вступают во взаимодействие с прямой волной и путём взаимного погашения пространство оказывается спокойным.

Метод зон Френеля

Принцип Гюйгенса - Френеля даёт чёткое представление о возможном распространении света . Применения вышеописанных методов стало называться метод зон Френеля, что позволяет использовать новые и неординарные способы решения задач на нахождение амплитуды. Так, он заменил интегрирование суммированием, что очень положительно приняли в научном сообществе.

На вопросы как работают некоторые важные физические элементы, например, как дифракция света, принцип Гюйгенса - Френеля даёт чёткие ответы. Решение задач стало возможным только благодаря подробному описанию работы этого явления.

Вычисления, представленные Френелем и его методом зон, сами по себе являются трудной работой, однако выведенная учёным формула немного облегчает этот процесс, давая возможность найти точное значение амплитуды . Ранний принцип Гюйгенса не был способен на это.

Необходимо обнаружить на площади точку колебания, которая впоследствии может служить важным элементом в формуле. Площадь будет представлена в виде сферы, так что по методу зон можно разбить её на кольцевые участки, которые позволяют с точностью определить расстояния от краёв каждой зоны. Проходящие по этим зонам точки имеют разное колебание, соответственно, и возникает разница в амплитуде. В случае монотонного убывания амплитуды, можно представить несколько формул:

1. А рез = А 1 – A 2 + A 3 – A 4 +…
2. А 1 > A 2 > A 3 > A m >…> A ∞

Следует помнить, что довольно большое количество других физических элементов влияют на решение задачи подобного типа, которые тоже нужно искать и учитывать.

Зоны Френеля

участки, на которые можно разбить поверхность световой (или звуковой) волны для вычисления результатов дифракции света (См. Дифракция света) (или звука). Впервые этот метод применил О. Френель в 1815-19. Суть метода такова. Пусть от светящейся точки Q (рис. ) распространяется сферическая волна и требуется определить характеристики волнового процесса, вызванного ею в точке Р. Разделим поверхность волны S на кольцевые зоны; для этого проведём из точки Р сферы радиусами PO, Pa = PO + λ / 2 ; Pb = Pa + λ / 2 , Pc = Pb + λ / 2 , (О - точка пересечения поверхности волны с линией PQ; λ - длина световой волны). Кольцеобразные участки поверхности волны, «вырезаемые» из неё этими сферами, и называется З. Ф. Волновой процесс в точке Р можно рассматривать как результат сложения колебаний, вызываемых в этой точке каждой З. Ф. в отдельности. Амплитуда таких колебаний медленно убывает с возрастанием номера зоны (отсчитываемого от точки О), а фазы колебаний, вызываемых в Р смежными зонами, противоположны. Поэтому волны, приходящие в Р от двух смежных зон, гасят друг друга, а действие зон, следующих через одну, складывается. Если волна распространяется, не встречая препятствий, то, как показывает расчёт, её действие (сумма воздействий всех З. Ф.) эквивалентно действию половины первой зоны. Если же при помощи экрана с прозрачными концентрическими участками выделить части волны, соответствующие, например, N нечётным зонам Френеля, то действие всех выделенных зон сложится и амплитуда колебаний U нечёт в точке Р возрастёт в 2N раз, а интенсивность света в 4N 2 раз, причём освещённость в точках, окружающих Р, уменьшится. То же получится при выделении только чётных зон, но фаза суммарной волны U чёт будет иметь противоположный знак.

Такие зонные экраны (т. н. линзы Френеля) находят применение не только в оптике, но и в акустике и радиотехнике - в области достаточно малых длин волн, когда размеры линз получаются не слишком большими (сантиметровые радиоволны, ультразвуковые волны).

Метод З. Ф. позволяет быстро и наглядно составлять качественное, а иногда и довольно точное количественное представление о результате дифракции волн при различных сложных условиях их распространения. Он применяется поэтому не только в оптике, но и при изучении распространения радио- и звуковых волн для определения эффективной трассы «луча», идущего от передатчика к приёмнику; для выяснения того, будут ли при данных условиях играть роль дифракционные явления; для ориентировки в вопросах о направленности излучения, фокусировке волн и т.п.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Зоны Френеля" в других словарях:

Участки, на к рые разбивают поверхность фронта световой волны для упрощения вычислений при определении амплитуды волны в заданной точке пр ва. Метод З. Ф. используется при рассмотрении задач о дифракции волн в соответствии с Гюйгенса Френеля… … Физическая энциклопедия

ФРЕНЕЛЯ - (1) дифракция (см.) сферической световой волны, при рассмотрении которой нельзя пренебречь кривизной поверхности падающей и дифрагировавшей (либо только дифрагировавшей) волн. В центре дифракционной картины от круглого непрозрачного диска всегда… … Большая политехническая энциклопедия

Участки, на которые разбивается волновая поверхность при рассмотрении дифракционных волн (Гюйгенса Френеля принцип). Зоны Френеля выбираются так, чтобы удаление каждой следующей зоны от точки наблюдения было на половину длины волны больше, чем… …

Дифракция сферич. световой волны на неоднородности (напр., отверстии в экране), размер к рой b сравним с диаметром первой зоны Френеля?(z?): b=?(z?) (дифракция в сходящихся лучах), где z расстояние точки наблюдения до экрана. Назв. в честь франц … Физическая энциклопедия

Участки, на которые разбивают волновую поверхность при рассмотрении дифракции волн (Гюйгенса Френеля принцип). Зоны Френеля выбираются так, чтобы удаление каждой следующей зоны от точки наблюдения было на половину длины волны больше, чем удаление … Энциклопедический словарь

Дифракция сферической световой волны на неоднородности (например, отверстии), размер которой сравним с диаметром одной из зон Френеля (См. Зоны Френеля). Название дано в честь изучившего этот вид дифракции О. Ж. Френеля (См. Френель).… … Большая советская энциклопедия

Участки, на к рые разбивают поверхность фронта световой волны для упрощения вычислений при определении амплитуды волны в заданной точке про странства. Метод Ф. з. используется при рассмотрении задач о дифракции волн в соответствии с Гюйгенса… … Физическая энциклопедия

Дифракция сферической электромагнитной волны на неоднородности, напр., отверстии в экране, размер которого b сравним с размером Френеля зоны, т. е. , где z расстояние точки наблюдения от экрана, ?? длина волны. Назван по имени О. Ж. Френеля … Большой Энциклопедический словарь

Дифракция сферической электромагнитной волны на неоднородности, например отверстии в экране, размер которого b сравним с размером Френеля зоны, то есть, где z расстояние точки наблюдения от экрана, λ длина волны. Названа по имени О. Ж. Френеля … Энциклопедический словарь

Участки, на к рые разбивают волновую поверхность при рассмотрении дифракции волн (Гюйгенса Френеля принцип). Ф. з. выбираются так, чтобы удаление каждой след. зоны от точки наблюдения было на половину длины волны больше, чем удаление предыдущей… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Френель предложил оригинальный метод разбиения волновой поверхности S на зоны, позволивший сильно упростить решение задач (метод зон Френеля ).

Границей первой (центральной) зоны служат точки поверхности S , находящиеся на расстоянии от точки M (рис. 9.2). Точки сферы S , находящиеся на расстояниях , , и т.д. от точки M , образуют 2, 3 и т.д. зоны Френеля.

Колебания, возбуждаемые в точке M между двумя соседними зонами, противоположны по фазе, так как разность хода от этих зон до точки M .

Поэтому при сложении этих колебаний, они должны взаимно ослаблять друг друга:

где A – амплитуда результирующего колебания, – амплитуда колебаний, возбуждаемая i -й зоной Френеля.

Величина зависит от площади зоны и угла между нормалью к поверхности и прямой, направленной в точку M .

Площадь одной зоны

Отсюда видно, что площадь зоны Френеля не зависит от номера зоны i . Это значит, что при не слишком больших i площади соседних зон одинаковы.

В то же время с увеличением номера зоны возрастает угол и, следовательно, уменьшается интенсивность излучения зоны в направлении точки M , т.е. уменьшается амплитуда . Она уменьшается также из-за увеличения расстояния до точки M :

Общее число зон Френеля, умещающихся на части сферы, обращенной в сторону точки M , очень велико: при , , число зон , а радиус первой зоны .

Отсюда следует, что углы между нормалью к зоне и направлением на точку M у соседних зон примерно равны, т.е. что амплитуды волн, приходящих в точку M от соседних зон , примерно равны.

Световая волна распространяется прямолинейно. Фазы колебаний, возбуждаемые соседними зонами, отличаются на π. Поэтому в качестве допустимого приближения можно считать, что амплитуда колебания от некоторой m -й зоны равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон, т.е.

.

Тогда выражение (9.2.1) можно записать в виде

Так как площади соседних зон одинаковы, то выражения в скобках равны нулю, значит результирующая амплитуда .

Интенсивность излучения .

Таким образом, результирующая амплитуда, создаваемая в некоторой точке M всей сферической поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной , а интенсивность .

Так как радиус центральной зоны мал (), следовательно, можно считать, что свет от точки P до точки M распространяется прямолинейно .

Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только центральную зону Френеля, то амплитуда в точке M будет равна . Соответственно, интенсивность в точке M будет в 4 раза больше, чем при отсутствии экрана (т.к. ). Интенсивность света увеличивается, если закрыть все четные зоны.

Таким образом, принцип Гюйгенса–Френеля позволяет объяснить прямолинейное распространение света в однородной среде.

Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально. Для этого используются зонные пластинки – система чередующихся прозрачных и непрозрачных колец.

Опыт подтверждает, что с помощью зонных пластинок можно увеличить освещенность в точке М , подобно собирающей линзе.

В результате изучения данной главы студент должен: знать

• суть метода зон Френеля;
• теорию дифракции на круглом отверстии и круглом диске;
• теорию дифракции в параллельных лучах от одной щели;
• теорию дифракционной решетки (условия максимумов и минимумов, дисперсия и разрешающая способность решетки);
• теорию дифракции от объемных решеток и формулу Брэгга - Вульфа; уметь
• применять метод зон Френеля для расчета дифракционных картин;
• решать типовые прикладные физические задачи на дифракцию света; владеть
• навыками использования стандартных методов и моделей математики применительно к дифракции света;
• навыками проведения физического эксперимента, а также обработки результатов эксперимента по дифракции света.

Метод зон Френеля. Дифракция на круглом отверстии и круглом диске

Дифракцией света называют явление отклонения света от прямолинейного направления распространения при прохождении вблизи препятствий. Проиллюстрировать это явление могут волны на воде, которые огибают даже довольно крупное препятствие, а мелкое (по сравнению с длиной волны) препятствие проходят так, как будто его и не было. И свет при определенных условиях может заходить в область геометрической тени. Если на пути параллельного светового пучка расположено круглое препятствие (круглый диск или круглое отверстие в непрозрачном экране), то на экране, расположенном на достаточно большом расстоянии от препятствия, появляется дифракционная картина - чередующиеся светлые и темные кольца. Если препятствие прямолинейное (нить, щель, край экрана), то на экране возникают параллельные полосы.

Рассмотрим сначала дифракцию на круглом отверстии - дифракционную задачу о прохождении плоской монохроматической волны через небольшое круглое отверстие радиуса R в непрозрачном экране (рис. 27.1). Точка наблюдения Р находится на оси симметрии на достаточно большом расстоянии L от экрана, причем

где X - длина волны.

Рис. 27.1

В соответствии с принципом Гюйгенса - Френеля можно разбить волновую поверхность плоскости отверстия на набор вторичных источников, волны от которых дают интерференционную картину в точке Р. Исходя из круговой симметрии задачи, Френель разбил волновую поверхность падающей волны на кольцевые зоны (зоны Френеля) так, чтобы расстояния от границ соседних зон до точки Р отличались на полдлины волны:

Таким образом, волновая поверхность будет разбита на концентрические окружности (см. рис. 27.1). Найдем по теореме Пифагора радиусы р т этих окружностей (зон Френеля):

Здесь учтено условие удаленности экрана от отверстия, которое соблюдается на опыте обычно с большим запасом. Количество зон Френеля, укладывающихся на отверстии, определяется радиусом отверстия R:

где т - не обязательно целое число. Хотя для четкой интерференционной картины, как будет видно ниже, т с достаточно высокой точностью должно быть целым. Результат интерференции в точке Р зависит от числа т участвующих в интерференции зон Френеля. Покажем, что все зоны имеют одинаковую площадь S m:

Одинаковые по площади зоны, излучающие одинаковую по амплитуде волну, на первый взгляд, должны давать одинаковый вклад в освещенность в точке наблюдения. Однако это не совсем так. Чем больше номер зоны, тем больше угол а между лучом г т и нормалью к излучающей волновой поверхности. К тому же растет и расстояние до точки наблюдения г т. Оба эти фактора приводят к небольшому уменьшению амплитуды колебаний с увеличением т в точке наблюдения А т> обеспечиваемой зоной т:

Существенно, что возбуждаемые соседними зонами колебания находятся в противофазе, поскольку расстояния от них до точки наблюдения отличаются на Х/2. Поэтому волна от последующей зоны почти гасит волну от предыдущей зоны. При этом суммарная амплитуда в точке наблюдения равна конечной сумме, число слагаемых в которой ограничено величиной т

В результате группировки амплитуд видно, что суммарная амплитуда колебаний в точке наблюдения всегда меньше амплитуды колебаний, которые вызвала бы одна первая зона Френеля. Если бы отверстие было бесконечно большим и были открыты все зоны Френеля, то до точки наблюдения дошла бы невозмущенная препятствием волна с амплитудой А 0 . Тогда имеем в результате группировки амплитуд бесконечную сумму, упрощающуюся с учетом равенства (27.7):

Таким образом, действие (амплитуда), вызванное всей волновой поверхностью невозмущенной волны, равно лишь половине действия одной первой зоны. Иными словами, если отверстие в непрозрачном экране оставляет открытой одну зону Френеля, то амплитуда колебаний в точке наблюдения возрастает в 2 раза (а интенсивность - в 4 раза) по сравнению с действием невозмущенной волны. Если открыть две зоны, то амплитуда колебаний практически обращается в нуль. А если изготовить непрозрачный экран, который оставлял бы открытыми только несколько нечетных (или только несколько четных) зон, то амплитуда колебаний в точке наблюдения резко возрастет. Так, если открыты первая, третья, пятая и седьмая зоны, то амплитуда колебаний возрастает в 8 раз, а интенсивность - в 64 раза. Можно сделать вывод, что такие зонные пластинки обладают свойством фокусировать свет.

Перейдем теперь к задаче о дифракции на круглом диске , не пропускающем свет. Предположим, что при этом зоны Френеля с номерами от 1 до т оказываются закрытыми. Тогда амплитуда колебаний в точке наблюдения по аналогии с предыдущими рассуждениями дается бесконечной суммой:

Здесь учтено, что выражения в скобках в соответствии с равенством (27.7) равны нулю. Если экран закрывает не слишком много зон, то

и аналогично формуле (27.10)

Таким образом, в центре картины при дифракции света на диске наблюдается интерференционный максимум, называемый пятном Пуассона. Э го пятно окружено светлыми и темными дифракционными кольцами, причем интенсивность максимумов убывает но мере удаления от центра.

Оценим теперь характерные размеры зон Френеля. Пусть, например, дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном на расстоянии L- 1м от препятствия, а длина волны света X = 0,5 мкм (зеленый свет). Тогда радиус первой зоны Френеля по формуле (27.3) равен

р, = 4XL ~ 0,71 мм, а радиус сотой зоны Френеля

p wo = V100XL ~ 7,1 мм.

Дифракционные явления проявляются наиболее отчетливо, когда на

препятствии укладывается малое число зон (27.4): т = ~гу ~ 1, или

Это соотношение между длиной волны X, размером препятствия R и расстоянием от препятствия до точки наблюдения L можно рассматривать как границу применимости геометрической оптики. При больших длинах волн дифракция существенна, а при меньших работают геометрическая оптика и понятие геометрического луча света.

Вычисление интеграла в пункте в общем случае - трудная задача.

В случаях, если в задаче существует симметрия, амплитуду результирующего колебания можно найти методом зон Френеля, не прибегая к вычислению интеграла.

Пусть от источника света S распространяется монохроматическая сферическая волна, P - точка наблюдения. Через точку O проходит сферическая волновая поверхность. Она симметрична относительно прямой SP. Разобьем эту поверхность на кольцевые зоны I, II, III и т.д. так, чтобы расстояния от краев зоны до точки P отличались на λ/2 - половину длины световой волны. Это разбиение было предложено O. Френелем и зоны называют зонами Френеля.

Что дает такое разбиение для расчета интенсивности в точке P? Возьмем произвольную точку 1 в первой зоне Френеля. В зоне II найдется, в силу правила построения зон, такая соответствующая ей точка, что разность хода лучей, идущих в точку P от точек 1 и 2 будет равна λ/2. Вследствие этого колебания от точек 1 и 2 погасят друг друга в точке P.

Из геометрических соображениях следует, что при не очень больших номерах зон их площади примерно одинаковы. Значит каждой точке первой зоны найдется соответствующая ей точка во второй, колебания которых погасят друг друга. Амплитуда результирующего колебания, приходящего в точку P от зоны с номером m, уменьшается с ростом m, т.е.

Происходит это из-за увеличения с ростом m угла между нормалью к волновой поверхности и направлением на точку P. Значит гашение колебаний соседних зон будет не совсем полным.

Дифракция Френеля.

Пусть на пути сферической световой волны, испускаемой источником S, расположен непрозрачный экран с круглым отверстием радиуса r 0 . Если отверстие открывает четное число зон Френеля, то в точке P будет наблюдаться минимум, так как все открытые зоны можно объединить в соседние пары, колебания которых в точке P приблизительно гасят друг друга.

При нечетном числе зон в точке P будет максимум, так как колебания одной зоны останутся не погашенными.

Можно показать, что радиус зоны Френеля с номером m при не очень больших m:

.

Расстояние "a" примерно равно расстоянию от источника до преграды, расстояние "b" - от преграды до точки наблюдения P.

Если отверстие оставляет открытым целое число зон Френеля, то, приравняв r 0 и r m , получим формулу для подсчета числа открытых зон Френеля:

.

При m четном в точке P будет минимум интенсивности, при нечетном - максимум.

Пятно Пуассона.

Этот результат показался в свое время Пуассону столь невероятным, что он выдвинул его как возражение против рассуждений и расчетов Френеля при рассмотрении дифракции. Однако, когда был проведен соответствующий опыт, такое светлое пятнышко в центра геометрической тени было обнаружено. С тех пор оно носит название пятна Пуассона, хотя он не допускал и самой возможности его существования.

Пятно Пуассона – светлое пятно в центре геометрической тени от непрозрачного объекта. Пятно Пуассона обусловлено загибанием света в область геометрической тени.