Ялтинский учебно-воспитательный комплекс «Школа-лицей № 9»

Зам.директора по УВР Романова А.Н.

«Моделирование на уроках математики в начальной школе»

Практический семинар

Математике надо учить в школе

Еще и стой целью, чтобы знания,

которые тут получают, были бы

достаточными для обычных

нужд в жизни.

М. Лобачевский

План доклада

Новые ориентиры в математическом образовании.

Методические основы моделирования. Математическая модель.

Использование метода моделирования на уроках математики в начальной школе.

Ознакомление учащихся с приемами математического моделирования.

Применение моделирования при решении уравнений.

Моделирование во время решения текстовых задач.

Использование моделирования при изучении нумерации, приемов сложения и вычитания чисел, а также в работе над единицами длины.

Новые ориентиры в математическом образовании. (5 мин)

Общеизвестно, что модели являются языком математики, а моделирование – их речью. Успешность овладения математикой определяется, прежде всего, тем, насколько хорошо ребенок научился «разговаривать» на их языке. Определяется это не только академическими успехами ученика в решении научно-познавательных заданий, а в большей степени жизненным успехом личности - благодаря способности применять математические методы для решения практических, реальных заданий, которые этого требуют. Согласитесь, это также хороший результат обучения математики в школе.

Учим ли мы своих учеников математической речи? Или, возможно, считаем это сложным заданием для начальной школы? Или просто надеемся на то, что в ходе ежедневного решения примеров и задач дети сами постепенно научатся ею пользоваться?

По данным мониторинга в школах г.Киева, а также данные всеукраинского мониторинга свидетельствуют о том, что большинство учащихся (60% и соответственно 53%) не умеют работать с готовыми графическими моделями, выполнять творческие задания, применять полученные знания в новых ситуациях для решения проблемы.

Такое состояние математического образования стало причиной необходимости существенного пересмотра государственных требований в обучении школьников математике. Новая редакция «Державного стандарту …», которая вступила в силу в этом году. С позиции личностно-ориентированного и компетентностного подхода фактически переориентовывает деятельность учителя. Компете́нтность - наличие знаний и опыта, необходимых для эффективной деятельности в заданной предметной области . Сравним . В еще действующем Государственном стандарте указано: «Изучение математики в начальной школе обеспечивает овладение учащимися знаний, умений и навыков, необходимых для дальнейшего изучения математики и других предметов… Изучение математики способствует развитию познавательных способностей младших школьников – памяти, логического и творческого мышления, воображения, математической речи». В новой редакции государственного стандарта цель в образовательной отрасли «Математика» уже определена как «формирование предметной математической и ключевых компетентностей, необходимых для самореализации учащихся в быстроизменяющемся мире». Предметная математическая компетентность рассматривается как «личностное образование, которое характеризует способность ученика (ученицы) создавать математические модели процессов окружающего мира, применять опыт математической деятельности во время решения учебно-познавательных и практически ориентированных задач».

Поэтому, овладение математической речью – способность строить математические модели – становится основной целью обучения математики, которое реализуется через формирование у учащихся «умений пользоваться математической терминологией, знаковой и графической информацией».

Позитивный опыт обучения учащихся моделированию (и не только на уроках математики) накопленный системой развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова, направленный на формирование у учащихся полноценной учебной деятельности, одной из которых есть моделирование.

Формирование у учащихся умения моделировать является одной из целей развивающего обучения, а модели, которые создают и которыми пользуются дети, – это прежде всего, один из способов формирования умений учиться (а не только способ наглядности).

Задача нашего сегодняшнего семинара состоит в том, чтобы разобраться в вопросах моделирования, показать, как можно использовать модели для обучения младших школьников решать уравнения и задачи, математические свойства, приемы сложения и вычитания чисел.

2. Методические основы моделирования. (8 мин)

Моделирование - это одно из средств познания действительности. Модель используется для изучения любых объектов (явлений, процессов), для решения различных задач и получения новой информации. Следовательно, модель - некий объект (система), использование которой служит для получения знаний о другом объекте (оригинале).

Использование моделирования рассматривается в двух аспектах:

во-первых, моделирование служит тем содержанием, которое должно быть усвоено детьми в результате педагогического процесса;

во-вторых, моделирование является тем учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение.

Наглядность моделей основана на следующей важной закономерности: создание модели производится на основе предварительного создания мысленной модели - наглядных образов моделируемых объектов, то есть субъект создает у себя мысленный образ этого объекта, а затем (вместе с детьми) строит материальную или образную модель (наглядную). Мысленные модели создаются взрослыми и могут преображаться в наглядные при помощи определенных практических действий (в которых могут участвовать и дети), дети также могут работать с уже созданными наглядными моделями.

В работе с детьми можно использовать замещение предметов: символы и знаки, плоскостные модели (планы, карты, чертежи, схемы, графики), объемные модели, макеты.

Использование метода моделирования помогает решать комплекс очень важных задач:

развитие продуктивного творчества детей;

развитие высших форм образного мышления;

применение ранее полученных знаний в решении практических задач;

закрепление математических знаний, полученных детьми ранее;

создание условий для делового сотрудничества;

активизация математического словаря детей;

развитие мелкой моторики руки;

получение новых представлений и навыков в процессе работы;

наиболее глубокое понимание детьми принципов работы и строения оригиналов с помощью моделей.

Модель дает нам не просто возможность создать наглядный образ моделируемого объекта, она позволяет создать образ его наиболее существенных свойств, отраженных в модели. Все остальные несущественные свойства при разработке модели отбрасываются. Таким образом, у нас создается обобщенный наглядный образ моделируемого объекта.

Научной основой моделирования служит теория аналогии, в которой основным понятием является - понятие аналогии - сходство объектов по их качественным и количественным признакам. Все эти виды объединяются понятием обобщенной аналогии - абстракцией. Аналогия выражает особого рода соответствие между сопоставляемыми объектами, между моделью и оригиналом.

Моделирование является многофункциональным, то есть оно используется самым различным образом для различных целей на различных уровнях (этапах) исследования или преобразования. В связи с этим многовековая практика использования моделей породила обилие форм и типов моделей.

Рассмотрим классификацию, предлагаемую Л. М. Фридманом. С точки зрения степени наглядности он все модели разбивает на два класса:

шаг 1. 1-2

· материальные (вещественные, реальные);

· идеальные.

К материальным моделям относят такие, которые построены из каких-либо вещественных предметов.

Шаг 2

Материальные модели, в свою очередь, можно разделить на статические (неподвижные) и динамические (действующие).

Шаг 3

Следующим видом динамических моделей являются аналоговые и имитирующие , которые воспроизводят то или иное явление с помощью другого, в каком-то смысле более удобного . Например, такая модель - искусственная почка - функционирует одинаково с естественной (живой) почкой, выводя из организма шлаки и другие продукты обмена, но, конечно, устроена она совершенно иначе, чем живая почка.

Идеальные модели делят обычно на три вида:

Шаг 4

· образные (иконические);

· знаковые (знаково-символические);

· мысленные (умственные).

Классификацию моделей можно проводить по различным признакам:

1) по характеру моделей (то есть по средствам моделирования);

2) по характеру моделируемых объектов;

3) по сферам приложения моделирования (моделирование в технике, в физических науках, в химии, моделирование процессов живого, моделирование психики и т. п.)

4) по уровням («глубине») моделирования.

Наиболее известной является классификация по характеру моделей .

Шаг 5.

Согласно ей различают следующие виды моделирования :

Шаг 6.

1. Предметное моделирование , при котором модель воспроизводит геометрические, физические, динамические или функциональные характеристики объекта. Например, модель моста, плотины, модель крыла самолета и т.д.

Шаг 7.

2. Аналоговое моделирование , при котором модель и оригинал описываются единым математическим соотношением. Примером могут служить электрические модели, используемые для изучения механических, гидродинамических и акустических явлений.

Шаг 8.

3. Знаковое моделирование , при котором моделями служат знаковые образования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, графы, слова и предложения.

Шаг 9.

4. Со знаковым тесно связано мысленное моделирование , при котором модели приобретают мысленно наглядный характер.

Шаг 10.

5. Моделированый эксперимент – особый вид моделирования где используется не сам объект, а его модель.

Основная цель моделирования – выделить и зафиксировать наиболее общие отношения в предмете для его изучения.

Метод моделирования – это сложное, интегративное образование. Согласно классификации дидактических методов Н.Г. Казанского и Т.С. Назаровой, метод моделирования имеет трехкомпонентную структуру

Шаг 11. (см. схему). Таким образом, в структуре метода моделирования внешняя сторона – это конкретная форма взаимодействия учителя и учащихся. Внутренняя сторона – это совокупность общеучебных приемов (анализа, синтеза, обобщения и т.д.) и способов учебной работы. Технологическая сторона – это совокупность специфических приемов данного метода (предварительный анализ, построение модели, работа с ней, перенос информации с модели на искомый объект – оригинал).

Внешняя сторона

Внутренняя сторона

Технологическая сторона

Формы:

изложение

беседа

самостоятельная работа

Психологическая сущность:

догматический способ учебной работы;

эвристический способ учебной работы

исследовательский способ учебной работы

Логическая сущность:

аналитический;

интетический;

индуктивный;

дедуктивный;

аналитико-синтетический

Приемы построения модели;

приемы преобразования модели;

приемы конкретизации модели

Математическая модель. Математическое моделирование.

Математическая модель – приближенное описание какого – нибудь класса явлений внешнего мира при помощи математической символики. Например, отношения между элементами А, В, С, выражено формулой А+В=С - математическая модель.

Процесс математического моделирования, т.е. изучения явлений при помощи математических моделей, можно разделить на четыре этапа.

Шаг 12.

Первый этап – вычленение существенных признаков объекта.

13.

Второй этап – построение модели.

14 .

Третий этап – исследование модели.

15 .

Четвертый этап –перенос полученных на моделях сведений на изучаемый объект.

Особенность моделирования состоит в том, что наглядность представляет собой не простое демонстрирование натуральных объектов, а стимулирует самостоятельную практическую деятельность детей . Умение учащихся работать с моделью, ее преобразование для изучения общих свойств изучаемых понятий составляет одну из главных задач обучения во всех предметных областях.

Для моделирования используются разнообразные математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции, алгебраические уравнения, ряды, геометрические фигуры, разнообразные графосхемы, диаграммы Ейлера-Венна, графы.

3. Использование метода моделирования на уроках математики в начальной школе. (1,5 мин)

Необходимость овладения младшими школьниками методом моделирования как методом познания в процессе обучения можно обосновать с разных позиций.

Шаг 16.

Во-первых , это способствует формированию диалектико-материалистического мировоззрения.

17.

Во-вторых , как показывают эксперименты, введение в содержание обучения понятий модели и моделирования существенно меняет отношение учащихся к учебному предмету, делает их учебную деятельность более осмысленной и более продуктивной.

18.

В-третьих , целенаправленное и систематическое обучение методу моделирования приближает младших школьников к методам научного познания, обеспечивает их интеллектуальное развитие. Для того чтобы «вооружить» учащихся моделированием как способом познания, учителю недостаточно лишь демонстрировать им разные научные модели и показывать процесс моделирования отдельных явлений. Нужно, чтобы школьники сами строили модели, сами изучали какие-либо объекты, явления с помощью моделирования. Когда учащиеся, решая практическую математическую (сюжетную) задачу, понимают, что она представляет собой знаковую модель некоторой реальной ситуации, составляют последовательность различных ее моделей, затем изучают (решают) эти модели и, наконец, переводят полученное решение на язык исходной задачи, то тем самым школьники овладевают методом моделирования.

Ознакомление учащихся с приемами математического моделирования. (10 мин)

Известный психолог П. Гальперин с коллегами разработал теорию поетапного формирования умственных действий. Согласно этой теории процесс обучения рассматривается как овладение ребенком системой умственных действий, которое происходит в процессе интериоризации (переход внутрь) отвечает внешней практической деятельности.

Ребёнок совершает практические действия с предметами (сначала с реальными, а потом с воображаемыми) – предметные действия. От них он, с опорой сначала на копировальный рисунок, а потом и на предметные модели, переходит к графическим моделям. После введения математических знаков, букв для обозначения величин ученик для описания действий пользуется формулами, т.е. знаково-буквенными моделями, а потом словесными моделями (определениями, правилами).

Например, перед детьми поставлено конкретно-практическое задание, которое требует найти две одинаковые по объему посудины (разные по форме). Фото шаг 19

После этого дети (а не учитель) выполняют практические действия: наливают воду в одну банку, переливают её в другую. Если в другую банку ввошла вся вода из первой, то объёмы этих банок равные. Целесообразно предложить детям взять в руки такие две полоски, при помощи которых можно сообщить про отношения между объемами, формами – одинаковые они или разные. Если объемы банок одинаковые, дети должны поднять две полоски одинаковые по длине, а если разные, то разные по длине. Фото

шаг 20

Для подведения детей к использованию графической модели снова необходимо поставить конкретно-практическое задание: при момощи рисунка показать, что объем одной банки больше, чем другой. Опыт показывает, что дети начинают рисовать форму банок, т.е. делают копировальный рисунок, или рисуют полоски, при помощи которых показывали отношение объемов банок.

После обсуждения рисунков делаем вывод: рисовать банки – это неудачный способ (неточные рисунки, не изображено отношение объемов банок, работа забирает много времени). Но и полоски у детей тоже разные по ширине и длине, на это тоже идет много времени.

В результате приходим к выводу, что удобнее ширину полоски вообще не рисовать, чертить только длину полоски (т.е. отрезки). Если величины (длина, площадь, масса, объем и т.д.) выявляются одинаковыми, то имеют отрезки одинаковой длины, а если неодинаковые, то их длина должна быть разной. Фото в тетради. шаг 21.

Таким образом вводится изображение величин при помощи отрезков. Дети учатся схематически обозначать величины, а потом строить графические (линейные) модели.

Целесообразным также является введение в 1-м классе понятий «целого» и «части» и развития умений учащихся устанавливать отношения между этими понятиями. Как на языке математики записать то, что, наример, яблоко состоит из отдельных частей? Если яблоко целое, обозначим его кругом, а кучочки яблока – обозначим треугольниками, и получим такую графическую модель.

Шаг 22. Слайд 7

+ + + =

Упростим и будем иметь базовую модель:

шаг 23. + =

Целое и части – это относительные понятия. Основные свойства этого отношения (на множестве натуральных чисел): целое не может быть меньше чем часть, а часть не бывает больше, чем целое; целое равно сумме частей, а часть равна разности между целым и другой частью

Шаг 24. = -

Всем хорошо известны лучики, которые традиционно используют для изображения состава числа. Шаг 25 Слайд 8

Так отношения между частями и целым можно показать при помощи знакографической записи:

С шаг 26

А |____________|_____________|

В А В

Схема, которая описывает действие сложения, вместе с тем описывает и обратное действие – вычитание:

Шаг 27 слайд 9

Понятия части и целого дает возможность ввести переместительное и сочетательное свойства сложения величин. Слайд 10, 11 (2 шага), 12

Шаг 28, 29, 30

Как и при изучении сложения и вычитания, для изучения умножения и деления тоже можно использовать моделирование.

Традиционно умножение рассматривается как сложение одинаковых слагаемых. Пусть величину А прибавили В раз: слайд 13.

шаг 31. А+А+А+А+А = АхВ

Формула А х В читается так: «по А взять В раз» или «В раз взять по А»,

Шаг 32. где А – часть (мерка), которую ма обозначали треугольником.

В – количество равных частей (количество мерок), можем обозначить квадратиком.

Для обозначения целого используем тот же значек – кружок.

Целое характеризуется как результат арифметического действия умножения чисел А и В.

Х = А х В = С Схема, которая описывае это действие:

|____|_А___|_____________|

Понятно, что когда мы рассмотрим деление как предметное действие, направленное на деление по содержанию или на равные части, появится возможность установить связь умножения и деления. Теперь кроме формулы умножения Шаг 33. Ах В =С, получаем две обратные на деление шаг 34. С: А = В и шаг 35 . С: В = А (с геометрическими фигурами). Это означает, что схема на умножение является схемой на деление.

Применение моделирования при решении уравнений. (10 мин)

Для правильного выбора способа решения уравнений необходимо уметь находить отношения целого и части.Когда сформировано это понятие, дети приобретают умения выражать целое через части и части через целое. Установление связей между сложением и вычитанием величин на основе понятия части и целого дает возможность сопоставлять целое с суммой и уменьшаемым, части - с слагаемыми или вычитаемым и разностью и увидеть, что разные действия: А+В=С, С-А=В,или С-В=А – характеризуют те же отношения между величинами.

Находить неизвестное при решении уравнений помогают не только правила, но и отношения между частями и целым, представленных в виде графической модели. Слайд 14 шаг 36.

Алгоритм работы при обучении решению уравнений такой:

Рисуем схему уравнения. Х +5 = 12 шаг 37.

Находим целое и части сначала на схеме, потом в уравнении (подчеркиваем)

Называем неизвестный компонент. Выясняем, чем он является: целым или частью.

Анализируем, каким действием будем находить неизвестную величину.

Находим Х. шаг 38 , 39

Построенной схемой можно воспользоваться при решении уравнения на вычитание. 12 – х = 5, посколькусхема, которая описывает действие сложения, одновременно является схемой на вычитание . Примеры фото из тетради

Слайды 15,16 (+1 шаг ), 17, 18.

Шаг, 40, 41, 41-а, 42,43

Задание разнести данные уравнения на схемы и составить выражение

слайд 19 шаг 44, 45. 44-а, 45-б

Аналогично используется моделирование при решении уравнений на нахождение неизвестного множителя, делителя и делимого.

Слайд 20( 8 шагов ) шаг 46.

Целесообразно при закреплении связи между умножением и делением познакомить с понятием площадь, формулой нахождения площади прямоугольника и нахождением неизвестной стороны. Слайд 21 (1 шаг)

Пример уравнения . Слайд 22 ( 4 шага)

Агоритм решения уравнения Слайд 23 .

Поскольку схема умножения является схемой деления, то из одного уравнения можно составить два уравнения на деление. Площадь – целое, а стороны длина и ширина – части.

Кроме того, моделирование дает возможность разнообразить творческую работу над уравнениями. Так, учитель может предложить такие виды заданий:

Слайд 24

По схеме составить и решить уравнение. Шаг 48.

Слайд 25 ( решить с гостями )

(дано несколько уравнений и схема) К какому уравнению подойдет эта схема? Найди и реши. Шаг 49.

Слайд 26, 27. 28, 29.

Решать уравнения во время устного счета . Шаг 50, 51, 52,53

Слайд 30 (10 шагов), 31

Составление условия задачи по схеме уравнения.

Новая презентация. (Семинар 2)

Моделирование во время решения текстовых задач (18 мин)

Слайд 1

Нельзя не согласится с мнением, что современное образование – это умение школьника взглянуть на реальную, жизненную ситуацию с позиции физика, химика, историка, географа, отнюдь не для того, чтобы стать исследователем в этой области, а для того чтобы в последующем находить решение в конкретных жизненных ситуациях.

Стать настоящим исследователем младший школьник может, решая текстовые задачи при обучении математике младших школьников.

Один из таких подходов – формирование у учащихся умения решать задачи определённого вида (например, решение задач на разностное сравнение и т.д., когда отрабатывается определенный вид задач). Другой основан на применении семантического и математического анализа текстовых задач, когда задача разбирается от данных к цели (синтетический способ) и от цели к данным (аналитический). Третий подход основан на методе решения учебных задач. Формирование действия моделирования, предполагает качественно иное формирование умения решать текстовые задачи.

Арифметические и алгебраические задачи в литературе ещё называют сюжетными, т.к. в них всегда есть словесное описание какого-то события, явления, действия, процесса. Текст любой сюжетной задачи можно воссоздать по – другому (предметно, графически, с помощью таблиц, формул и т.д.), а это и есть переход от словесного моделирования к другим формам моделирования. Поэтому в работе над задачами мы уделяем большое внимание построению схематических и символических моделей, а также умению работать с отрезками, графически моделировать с их помощью текстовую задачу, ставить вопрос, определять алгоритм решения и поиска ответа. Младший школьник, как известно не обладает достаточным уровнем абстрактного мышления. И наша задача заключается как раз в том, чтобы поступательно научить его представлять конкретные объекты в виде символической модели, помочь ему научится переводить текстовую задачу на математический язык. Мы считаем, что именно графическое моделирование текстовой задачи и, что самое важное, даёт реальную возможность наглядно увидеть и определить алгоритм его решения, осуществить самостоятельную рефлексию выполненного задания.

Но не всякая запись будет моделью задачи. Для построения модели, для её дальнейшего преобразования необходимо выделить в задаче цель, данные величины, все отношения, чтобы с опорой на эту модель можно было продолжить анализ, позволяющий продвигаться в решении и искать оптимальные пути решения. Решение любой задачи арифметическим способом связано с выбором арифметического действия, в результате выполнения которого можно дать ответ на поставленный вопрос. Чтобы облегчить поиск математической модели необходимо использовать вспомогательную модель. Слайд 2 (знакомство с составными частями в 1 классе).

Для воссоздания ситуации в условии задачи можно использовать схематический чертеж, который обеспечивал бы переход от текста задачи к соотнесению определенного арифметического действия над числами, что способствует формированию сознательного и прочного усвоения общего приема работы над задачей. Данная модель позволяет сформировать у ученика умение разъяснять, как он получил ответ на вопрос задачи. Но схематическая модель эффективна лишь в том случае, когда она понятна каждому ученику и выработаны умения переводить словесную модель на язык схемы. При обучении решению простых задач на сложение и вычитание вводятся понятия: целое, часть и их соотношение. Слайд 3. (2 шага)

Чтобы найти часть нужно от целого отнять другую часть.

Чтобы найти целое нужно части сложить.

При обучении решению простых задач на умножение и деление предлагаются схема и соответствующие правила:

Чтобы найти целое, нужно мерку умножить на количество мерок.

Чтобы найти мерку, нужно целое разделить на количество мерок.

Чтобы найти количество мерок, нужно целое разделить на мерку.

Слайд 4. (3 шага)

Данный подход в обучении позволяет отойти от старой классификации простых задач. Важно изображать данные и искомое так, чтобы достаточно ясно выступали зависимости между величинами. Рассматриваемыми в задаче, и их отношениями.

В качестве примера приведу несколько текстовых задач и их способы решения с помощью графических моделей.

Задача 1 Слайд 5. (5 шагов)

В аквариуме 4 больших и 5 маленьких рыб. Сколько всего рыб в аквариуме?

Упражнения на составление задач и выражений по картинкам (обратные задачи) Слайд 6. ( 8 шагов) Слайд 7.

Задача 2 Слайд 8

У Лены 5 груш. А у Миши на 4 больше, чем у Лены. Сколько груш у Миши?

Пример задания на составление задач по картинке и запись решения. Слайд 9.

Задача 3 Слайд 10. (5 шагов)

У Лены 10 груш. Это на 3 больше, чем персиков. Сколько персиков у Лены?

Задача 4. Слайд 11 (4 шага).

Саша купил 5 тетрадей по цене 8 грн и альбом для рисования за 33 гривны. Сколько денег Саша заплатил за покупку?

Цена одной тетради 8 грн – это единичный отрезок (мерка). Количество единичных отрезков (5) указывает на количество тетрадей. Вторая часть отрезка отражает цену (33 грн) и количество (1) альбомов.

Задача 5. Слайд 12 (7 шагов). Два способа составления схемы. Два решения

Заводу необходимо 90 работников: 50 токарей,10 слесарей, остальные – грузчики. Сколько необходимо грузчиков?

Слайд 13 (3 шага) составление обратной задачи. СТОП

Приёмы работы над задачами.

На этапе ознакомления использую следующие приёмы:

Разъяснение каждой составляющей части модели.

Указание к построению модели.

Моделирование по наводящим вопросам и поэтапное выполнение схемы.

На этапе осмысления схематического чертежа использую следующие приёмы:

Формулирование текста задачи по предложенному сюжету и отрезочной схеме.

Соотнесение схемы и числового выражения.

Заполнение схемы – заготовки данными задачи.

Нахождение ошибок в заполнении схемы.

Выбор схемы к задаче.

Выбор задачи к схеме.

Дополнение условий задачи.

Изменение схемы.

Изменение условий задачи.

Изменение текста задачи.

Итогом обучения построению и осмыслению схематического чертежа является самостоятельное моделирование задач учащимися.

Решая текстовые задачи, мы работаем на формирование действия моделирования, и наоборот, чем лучше ребенок овладевает действием моделирования, тем легче ему решать задачи.

Учащихся следует знакомить с различными методами решения текстовых задач: арифметическим, алгебраическим, геометрическим, логическим и практическим; с различными видами математических моделей, лежащих в основе каждого метода; а также с различными способами решения в рамках выбранного метода. Решение текстовых задач дает богатый материал для развития и воспитания учащихся. Краткие записи условий текстовых задач – примеры моделей, используемых в начальном курсе математики. Метод математического моделирования позволяет научить школьников:

а) анализу (на этапе восприятия задачи и выбора пути реализации решения);

б) установлению взаимосвязей между объектами задачи, построению наиболее целесообразной схемы решения;

в) интерпретации полученного решения для исходной задачи;

г) составлению задач по готовым моделям и др.

Презентация работа над задачами Слайды 15-22 .

Комбинаторика на моделях с 1 класса

2 класс

Расположи цифры 4, 6, 8 разными способами:

В 3-4 классах

«Дерево» (36 обедов)

Фото из тетради

Использование моделирования при изучении нумерации, приемов сложения и вычитания чисел и в работе над единицами длины (5 мин)

Умение преобразовывать числа в единицы счета и единицы измерения чаще всего вызывает некоторые затруднения. И здесь в помощь целесообразно использовать метод моделирования. Изучая концентр «Десяток» дети схематически учатся изображать единицы при помощи точек. Слайд 25. Учатся складывать и вычитать на моделях. Слайд 26. (7 шагов) Слайд 27.

Изучая «Сотню» дети изображают десятки при помощи малых треугольников. Учатся преобразовывать числа в единицы счета (дес. и ед.) и параллельно с этим дети знакомятся с сантиметром и дециметром. Что позволяет проводить аналогию в преобразовании единиц длины. А также учат приемы сложения двузначных чисел на числовых схемах. Слайд 28

Изучая «Тысячу» дети узнают, что 10 треугольников (десятков) мы будем условно изображать одним большим треугольником (одна сотня). Параллельно дети изучают новую единицу длины – метр. Преобразовывая числа в единицы счета, мы проводим аналогичную работу с единицами длины. Слайд 29, пример для числа 342 Слайд 30 (5 шагов)

Пример для числа 320 Слайд 31 (6 шагов)

Пример для числа 302 Слайд 32 (8 шагов)

Алгоритмы. Слайды 33 и 34 (7 шагов)

Рекомендации к использованию метода моделирования на уроках о математики (3 мин)

Необходимо понимать, что моделирование в обучении не желательное, а необходимое, поскольку создает условия для полноценного и крепкого овладения учениками методами познания и способами учебной деятельности.

Основными целями моделирования на уроке являются:

построение модели как способ конструирования нового способа действий.

обучение построению модели на основе анализа принципов, способов её построения.

Помните, что первые уроки, связаны с моделированием, по сути, есть уроками постановки учебно-практического задания. Проблема, которая возникает у детей, лежит в том, что способов для отображения общего отношения у них недостаточно. Каждый раз, когда появляется новая практическая ситуация, дети определяют новые отношения – и снова встает вопрос как его передать графически.

Такие «абстрактные задания», как начертить схему по формуле, установить зависимость между величинами, которые входят в состав нескольких формул, и т.п. предлагают тогда, когда отношения исследованы, осведомлены и отображены в знаках, схемах неоднократно. За моделью у каждого ребенка должны стоять действия с реальными предметами, которые теперь он способен выполнить в воображении (умственные действия).

Место модели для ребенка определяется в зависимости от задания

Действие может сопровождаться моделью. Например, если конструирование способа легче выполнить на модели, как этап работы над текстовой задачей (отношения между величинами во время чтения отображаются схематически).

Модель строится после завершения действий. Для того чтобы осознать выполненное действие, необходимо построить схему отдельного отношения. Построение схемы мотивируется вопросами типа: «Как ты это делал?», «Как бы ты научил других выполнять такие задания?

И еще несколько советов.

Начинать надо с изучения специальной литературы. Например, это методика обучения математике в начальных классах и учебников Е. Александровой, Л. Петерсон.

На родительских собраниях обязательно познакомьте родителей с методом обучения их детей. Ваши советы и инструкции могут им пригодиться.

Используйте любую возможность стать участником мастер- классов по математическому моделированию.

Куда я вас и приглашаю.

Татьяна Портнова

Я представляю опыт работы ДОУ №17 "Рождественский" г. Петровска по теме метод моделирования как способ обучения дошкольников математики .

Одним из наиболее перспективных методов математического развития дошкольников является моделирование . МОДЕЛИРОВАНИЕ для дошкольников позволяет одновременно решить сразу несколько задач, главные из которых – это привить детям основы логического мышления, научить простому счету, облегчить ребенку познание. В результате знания ребенка поднимаются на более высокий уровень обобщения, приближаются к понятиям.

В своей работе я опиралась на метод моделирования , разработанный Д. Б. Элькониным, Л. А. Венгером, Н. А. Ветлугиной, он заключается в том, что мышление ребенка развивают с помощью специальных схем, моделей , которые в наглядной и доступной для него форме воспроизводят скрытые свойства и связи того или иного объекта.

Использование моделирования в развитии математических представлений дошкольников дает ощутимые положительные результаты, а именно :

Позволяет выявить скрытые связи между явлениями и сделать их доступными пониманию ребенка;

Улучшает понимание ребенком структуры и взаимосвязи составных частей объекта или явления;

Повышает наблюдательность ребенка, дает ему возможность заметить особенности окружающего мира;

В своей работе я использую четырех ступенчатую последовательность применения метода моделирования .

Первый этап предполагает знакомство со смыслом арифметических действий.

Второй - обучение описанию этих действий на языке математических знаков и символов .

Третий - обучение простейшим приемам арифметических вычислений

Четвертый этап - обучение способам решения задач

Слайд 5 (фото дети модели делают )

Чтобы овладеть моделированием как методом научного познания , необходимо создавать модели . Создавать вместе с детьми и следить, чтобы дети принимали в изготовлении моделей непосредственное и активное участие. Продумывая разнообразные модели вместе с детьми , я придерживалась следующих требований :

Модель должна отображать обобщенный образ и подходить к группе объектов.

Раскрывать существенное в объекте.

Замысел по созданию модели следует обсудить с детьми, чтобы она была им понятна.

Моделирование как новый вид работы дает простор для творчества и фантазии детей, обеспечивая развитие их мышления.

Созданные нами модели многофункциональны . На основе моделей создаем разнообразные дидактические игры. При помощи картинок-моделей организовываем различные виды ориентированной деятельности детей. Модели использую на занятиях, в совместной с воспитателем и самостоятельной детской деятельности.

К созданию моделей подключаю родителей , которым даю задания по изготовлению несложных моделей (родители дома вместе с ребенком создают модель ) .

Таким образом, осуществляется взаимосвязь трех сторон :

родитель

и ребенок.

Хочу познакомить с моделями , которые я использую в работе с детьми.

Наглядная плоскостная модель "От секунды до года"

Цель применения :

Дать детям представления о временных отношениях, их взаимосвязи ;

Закрепить представления детей об отношении целого и части, научить обозначать в пространстве отношения во времени; совершенствовать счет.

Описание работы с моделью :

Знакомлю детей с моделью постепенно . Сначала знакомлю с самими терминами (секунда, минута, час, сутки, неделя, месяц, год) . Что по временным меркам больше, а что меньше, что во что входит.

Далее даю более четкие, узкие представления. Например, секунда - это почти самая маленькая временная единица, но если их 60, то они будут составлять большую временную единицу - минуту, и таким образом провожу работу до тех пор, пока дети не усвоят все термины, все взаимосвязи временных отношений, начиная от секунды и заканчивая годом.

Наглядная плоскостная модель

"Домик, где знаки и числа живут"

Цель применения :

Закрепить умения детей составлять числа из двух меньших; складывать и вычитать числа;

Дать детям представления о неизменности числа, величины при условии различий в суммировании;

Учить или закреплять умение сравнивать числа (больше, меньше, равно) .

Структура модели : модель представляет собой 4-этажный домик, на каждом этаже расположено разное количество окошек, где будут жить знаки и цифры, но так как домик волшебный, то поселяться в домик знаки и цифры могут только с помощью детей. Окна в домике располагаются следующим образом :

Описание работы с моделью :

первый и второй этажи будут использоваться для решения задачи, которая состоит в том, чтобы дать детям представления о неизменности числа, величины при условии различий в суммировании. Например : 4 = 1 + 1 + 1 + 1; 4 = 2 + 2.

Третий этаж будет использоваться, чтобы научить детей (или закрепить умение) составлять числа из двух меньших, а также вычитать числа. Например, 3 + 5 = 8 или 7 - 4 = 3 и т. п.

Последний, четвертый, этаж будет использоваться, чтобы научить детей (или закрепить умение) сравнивать числа между собой, с помощью знаков "меньше", "больше" или "равно".

Модель можно использовать в любых видах деятельности : на занятиях, в свободной деятельности детей, при индивидуальной работе с детьми и т. д.

Слайд 11-12

Наглядная плоскостная модель "Солнечная система"

Только для детей старшей и подготовительной группы.

Цели применения :

Дать (или закрепить) представления детей о геометрических телах и фигурах (сравнивая круг, шар с другими геометрическими телами и фигурами) ;

Научить детей определять и отражать в речи основания группировки, классификации, связи и зависимости полученной группы (солнечная система) ;

Научить (или закрепить) умение детей определять последовательность ряда предметов по размеру ;

Развивать понимание пространственных отношений, определять местонахождение одних объектов относительно других;

Совершенствовать порядковый и количественный счет;

Закрепить умение пользоваться условной меркой для измерения расстояний;

Закрепить умение решать арифметические задачи.

Структура модели :

модель представляет собой наглядную плоскостную схему, на которой изображена солнечная система. В дополнение к схеме имеется специальная карточка, которая предназначается для взрослого, где запечатлена информация о солнечной системе (небольшой рассказ о солнечной системе, размеры планет) . К модели прилагается комплекс смоделированных планет , при этом необходимо соблюдать пропорциональность их размеров друг к другу.

Описание работы с моделью :

Для решения задачи, необходимо объяснить детям, что все планеты солнечной системы и само солнце, конечно, - это одна целая группа (семья) . "У нашей звезды Солнце есть своя семья. В нее входит 9 планет, которые вращаются вокруг Солнца, то есть все эти 10 космических тел объединены в одну группу. Задания для детей :

1. разложить планеты в ряд, по мере увеличения размера планет или, наоборот, от самой большой планеты к самой маленькой.

2. определить местонахождение одной планеты относительно другой, ориентируясь по схеме : планета Земля находится левее планеты Юпитер и т. п.

3. Можно использовать условную мерку, например любую веревочку, линейку и т. д для измерения расстояний между планетами и звездой, между планетами и т. д.

4. Планеты можно пересчитывать как в прямом, так и в обратном порядке, можно составлять разного вида задачи и решать их, в солнечной системе крупных планет только 3, включая звезду, сколько тогда маленьких и т. п.

Слайд 13-14

Наглядная плоскостная модель "Счетный торт"

Цель применения :

Учить детей решать арифметические задачи и развивать познавательные способности ребенка;

Учить выделять математические отношения между величинами, ориентироваться в них.

Структура модели ,

модель включает в себя :

1. Пять наборов "сладких счетных частей", каждый из которых разделен на части (как на равные, так и на разные части) . Каждый счетный торт в виде круга, имеет свой цвет.

2. Овалы, вырезанные из белого картона, которые обозначают "целое" и "часть". В игровой ситуации они будут называться тарелочками, куда дети будут раскладывать куски счетного.

Описание работы с моделью :

в арифметической задаче математические отношения можно рассматривать как "целое" и "часть".

Сначала необходимо дать детям представления о понятии "целое" и "часть".

Положите перед детьми на тарелочку обозначающую "целое", счетный торт (все его части, скажите, что торт целый мама испекла и что мы его кладем строго на тарелочку, которая обозначает "целое". Теперь мы разрежем торт на две части, каждую из них назовем "часть". Объясните, что теперь, когда целое (целый торт) разделили на части (на 2 кусочка) то целого теперь нет, a есть только 2 части. Которые не могут оставаться на чужой тарелочке и их необходимо переложить на свои места - тарелочки, обозначающие "часть". Одну часть на одну тарелку, другую часть на другую тарелку. Затем соедините 2 куска опять вместе и покажите, что опять получилось целое. Таким образом, мы продемонстрировали, что соединение частей дает целое, а вычитание части из целого дает часть.

Слайд 15-16

Наглядная объемная модель "песочные часы"

Цель применения :

научить детей измерять время при помощи модели песочных часов ; активно включаться в процесс экспериментирования.

Структура модели :

модель объемная , трехмерная.

Чтобы можно было измерять время, необходимо открыть крышечку донца одной из бутылок и насыпать туда песка ровно столько, сколько его необходимо, чтобы за 1 минуту песок из одного отсека часов перешел в другой. Сделать это нужно путем экспериментирования.

писание работы с моделью :

с помощью модели песочных часов можно сначала провожу познавательное ознакомительное занятие. Показываю детям картинки с изображением разных песочных часов, потом демонстрирую модель , рассказываю о происхождения песочных часов, зачем они нужны, как ими пользоваться, как они работают. Затем вместе с детьми проводим эксперименты : например, эксперимент, доказывающий точность часов.

Таким образом, моделирование является важным учебным средством и действием, с помощью которого можно осуществлять различные учебные и развивающие цели и задачи,

Все формы использования моделирования дают положительные результаты в практическом применении, активизируя познавательную деятельность детей.

Виды математических моделей

В зависимости от того, какими средствами, при каких условиях и по отношению к каким объектам познания реализуется способность моде­лей отображать действительность, возникает их большое разнообразие, а вместе с ним - классификации. Путем обобщения существующих клас­сификаций выделим базовые модели по применяемому математическому аппарату, на основе которых получают раз­витие специальные модели (рисунок 8.1).

Рисунок 8.1 - Формальная классификация моделей

Математические модели отображают изучаемые объекты (процессы, системы) в виде явных функциональных соотношений: алгебраических равенств и неравенств, интегральных и дифферен­циальных, конечно-разностных и других математических выражений (закон распределения случайной величины, регрессионные модели и т.д.), а также отношений математической логики.

В зависимости от двух фундаментальных признаков построения математической модели - вида описания причинно-следственных связей и изменений их во вре­мени - различают детерминистические и стохастические, статические и динамические модели (рисунок 8.2).

Цель схемы, представленной на рисунке, - отобразить следующие особенности:

1) математические модели могут быть и детерминистическими, и стохастическими;

2) детерминистические и стохастические модели могут быть и статическими, и динамическими.

Математическая модель называется детерминистической (детерминированной) , если все ее параметры и переменные являются однозначно определяемыми ве­личинами, а также выполняется условие полной определенности ин формации. В противном случае, в условиях неопределенности инфор­мации, когда параметры и переменные модели - случайные величи­ны, модель называется стохастической (вероятностной) .

Рисунок 8.2 – Классы математических моделей

Модель называется динами­ческой , если как минимум одна переменная изменяется по периодам времени, и статической , если принимается гипотеза, что переменные не изменяются по периодам времени.

В простейшем случае балансовые модели выступают в виде уравнения баланса, где в левой части располагается сумма каких-либо поступлений, а в правой - расходная часть также в виде суммы. Например, в таком виде представляется годовой бюджет организации.

На основе статистических данных могут строиться не только балан­совые, но и корреляционно-регрессионные модели.

Если функция Y зависит не только от переменных х 1 , х 2 , … х n , но и от других факторов, связь между Y и х 1 , х 2 , … х n является неточной или корреляционной в отличие от точной или функциональной связи. Корреляционными, например, в большинстве случаев являются связи, наблюда­ющиеся между выходными параметрами ОПС и факторами ее внутренней и внешней среды (см. тему 5).

Корреляционно-регрессионные модели получают при исследовании влияния целого комплекса факторов на величину того или иного признака путем примене­ния статистического аппарата. При этом ставится задача не только установить корреляционную связь, но и выразить эту связь аналитически, то есть подобрать уравнения, описываю­щие данную корреляционную зависимость (уравнение регрессии).

Для нахождения численного значения параметров уравне­ния регрессии пользуются методом наименьших квадратов. Суть этого метода состоит в том, чтобы выбрать такую линию, при которой сумма квадратов отклонений от нее ординат Y отдель­ных точек была бы наименьшей.

Корреляционно-регрессионные модели часто используются при исследовании явлений, когда возникает необходимость установить зависимость между соответствующими характеристиками в двух и более рядах. При этом преимущественно используется парная и множественная линейная регрессия вида

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b .

В результате применения метода наименьших квадратов ус­танавливаются значения параметров a или a 1 , a 2 , …, a n и b, а затем выполняются оценки точности аппроксимации и значимости полученного уравнения регрессии.

В особую группу выделяют графоаналитиче­ские модели . Они используют различные графические изображения и поэтому обладают хорошей наглядностью.

Теория графов - одна из теорий дискретной математики, изучает графы, под которыми понимается совокупность точек и линий их соединяющих. Граф - это самостоятельный математи­ческий объект (впервые ввел Кёниг Д.). На основе теории гра­фов наиболее часто строят древовидные и сетевые модели.

Древовидная модель (дерево) - это неориентированный связ­ный граф, не содержащий петель и циклов. Примером такой модели является дерево целей.

Сетевые модели нашли широкое применение в управлении производством работ. Сетевые модели (графики) отражают последовательность выполнения работ и продолжи­тельность каждой работы (рисунок 8.3).

Рисунок 8.3 - Сетевая модель производства работ

Каждая линия сетевого графика - это некоторая работа. Цифра рядом с ней означает продолжительность ее выполнения.

Сетевые модели позволяют найти так называемый критический путь и оптимизировать график производства работ по времени при ограничениях на другие ресурсы.

Сетевые модели могут быть детерминированными и стоха­стическими. В последнем случае продолжительности выполнения работ задаются законами распределения случайных величин.

Оптимизационные модели служат для определения оптимальной траектории достижения системой поставленной цели при наложении некоторых ограничений на управление ее поведениям и движением. В этом случае оптимизационные модели описывают различного рода задачи нахождения экстремума некоторой целевой функции (критерия оптимизации).

Для выявления оптимального способа достижения цели управления в условиях ограниченных ресурсов – технических, материальных, трудовых и финансовых – применяют методы исследования операций. К ним относятся методы математическо­го программирования (линейное и нелинейное, целочисленное, ди­намическое и стохастическое программирование), аналитические и вероятностно-статистические методы, сетевые методы, методы тео­рии массового обслуживания, теории игр (теории конфликтных си­туаций) и др.

Оптимизационные модели применяются для объемного и календар­ного планирования, управления запасами, распределения ресурсов и работ, замены, параметризации и стандартизации оборудования, рас­пределения потоков товарных поставок на транспортной сети и дру­гих задач управления.

Одним из основных достижений теории исследования операций считается типизация моделей управления и методов решения задач. Например, для решения транспортной задачи, в зависимости от ее раз­мерности, разработаны типовые методы - метод Фогеля, метод по­тенциалов, симплекс-метод. Также при решении задачи управления запасами, в зависимости от ее постановки, могут использоваться ана­литические и вероятностно-статистические методы, методы динами­ческого и стохастического программирования.

В управлении особое значение придается сетевым методам плани­рования. Эти методы позволили найти новый и весьма удобный язык для описания, моделирования и анализа сложных многоэтапных работ и проектов. В исследовании операций значительное место отво­дится совершенствованию управления сложными системами с при­менением методов теории массового обслуживания (см. раздел8.3) и аппарата марков­ских процессов.

Модели марковских случайных процессов - система дифференци­альных уравнений, описывающих функционирование системы или ее процессов в виде множества упорядоченных состояний на некоторой траектории поведения системы. Этот класс моделей широко исполь­зуется при математическом моделировании функционирования слож­ных систем.

Модели теории игр служат для выбора оптимальной стратегии в ус­ловиях ограниченной случайной информации или полной неопреде­ленности.

Игра - математическая модель реальной конфликтной си­туации, разрешение которой ведется по определенным правилам, алгоритмам, описывающим некоторую стратегию поведения лица, принимающего решение в условиях неопределенности.

Различают «игры с природой» и «игры с противником». Исходя из ситуации опре­деляются методы и критерии оценки принятия решений. Так, при «играх с природой» применяют критерии: Лапласа, максиминный (кри­терий Вальда) и минимаксный, Гурвица и Сэвиджа и ряд других алго­ритмических правил. При «играх с противником» для принятия реше­ний используются платежные матрицы, максиминный и минимаксный критерии, а также специальные математические преобразования в свя­зи с тем, что лицу, принимающему решение, противостоит недобро­желательный противник.

Рассмотренные типы математических моделей не охватыва­ют всего их возможного многообразия, а лишь характеризуют отдельные виды в зависимости от принятого аспекта классифи­кации. В.А.Кардашем была предпринята попытка создания сис­темы классификации моделей по четырем аспектам детализации (рисунок 8.4).

А - модели без пространственной дифференциации параметров;

В - модели с пространственной дифференци­ацией параметров

Рисунок 8.4 - Классификация моделей по четырем аспектам детализации

С развитием вычислительных средств одним из распространенных методов принятия решений выступает деловая игра, представляющая собой численный эксперимент с активным участием человека. Существуют сотни деловых игр. Они применяются для изу­чения целого ряда проблем управления, экономики, теории организа­ции, психологии, финансов и торговли.

Математическое моделирование – процесс установления соответствия реальной системе S мат модели M и исследование этой модели, позволяющее получить хар-ки реальной системы. Применение мат модел-ния позволяет иссл-ть объекты, реальные эксперименты над которыми затруднены или невозможны.

Аналит-е моделирование - процессы функц-ия элем-в записываются в виде мат-х соотношений (алгебр-х, интегральных, диффер-х, логич-х и т.д.). Мат. модель может вообще не содержать в явном виде искомых величин. Ее необходимо преобразовать в систему соотношений относ-но искомых величин, допускающую получение нужного результата чисто анал-ми методами. Под этим понимается получения явных формул вида

<искомая величина> =<аналитическое выражение>, либо получение урав-й известного вида, решение которых также известно. В некоторых случаях возможно качественное исследование модели, при котором в явном виде можно найти лишь некоторые свойства решения.

Численное мод-е использует методы вычис-й матем-ки и позволяет получить лишь приближенные решения. Решение задачи бывает менее полным, чем в анал-м мод-и. Принципиальный недостаток численного мод-я закл-ся в автом-й реализации выбранного численного метода. Моделирующий алгоритм в большей степени отражает именно численный метод, чем особенности модели. Поэтому при смене численного метода приходится заново перерабатывать алгоритм моделирования.

Имит-е мод-ие - воспроизведение на ЭВМ (имитация) процесса функц-я исследуемой системы с соблюдением логической и временной послед-ти реальных событий. Для имит- мод-я характерно воспроизведение событий , происходящих в системе (описываемых моделью) с сохр их логической структуры и временной последовательности . Оно позволяет узнать данные о состоянии системы или отдельных ее элементов в опред-е моменты времени. Имитационное моделирование аналогично экспериментальному исследованию процессов на реальном объекте, т.е. на натуре.

12.Получение случайных чисел с произвольным законом распределения методом обратных функций. М-д обр ф-ий наиболее общий и универсальный способ получения чисел, подчиненных заданному закону. Стандартный метод моделирования основан на том, что интегральная функция распределения
любой непрерывной случайной величины равномерно распределена в интервале (0;1), т.е. для любой случайной величины X с плотностью распределения f (x ) случайная величина равномерно распределена на интервале (0;1).

Тогда случайную величину X с произвольной плотностью распределения f (x ) можно рассчитать по следующему алгоритму:1. Необходимо сгенерировать случайную величину r (значение случайной величины R), равномерно распределенную в интервале (0;1). 2. Приравнять сгенерированное случайное число известной функции распределения F(X) и получить уравнение
. 3. Решая уравнение X=F -1 (r), находим искомое значение X

Графическое решение

.

Дополнительно к вопросу 11.

Рассмотрим пример, характеризующий различие рассмотренных видов моделирования.

Имеется система, состоящая из трех блоков.

Система функционирует нормально, если исправен хотя бы один из блоков 1 и 2, а также исправен блок 3. Известны функции распределения времени безотказной работы блоков f1(t),f2(t),f3(t). Требуется найти вероятность безотказной работы системы в момент времени t.

Эквивалентная логическая схема

означает, что отказ системы наступает при обрыве цепи. Это имеет место в следующих случаях:

отказали блоки 1 и 2, исправен блок 3;

отказал блок 3, исправен хотя бы один из блоков 1 и 2.

Вероятность безотказной работы системы P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) =

Эта формула и есть основа математической модели системы.

Аналитическое моделирование. Оно возможно лишь при условии, что все интегралы выражаются через элементарные функции. Допустим, что

Тогда
=
=
.

С учетом этого модель (1) принимает вид

Это и есть явное аналитическое выражение относительно искомой вероятности; оно справедливо лишь при сделанных допущениях.

Численное моделирование . Необходимость в нем может возникнуть, например, тогда, когда установлено, что интегралы не определяются (т.е. выражены не ч/з элементарные функции). Необходимость в нем может возникнуть, например, тогда, когда установлено, что распределения f1(t),f2(t),f3(t) подчиняются закону Гаусса (нормальному):
.Для вычислений по формуле P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) = при каждом значении t они должны определяться численно, например, по методу трапеций, Симпсона, Гаусса или другими методами. Для каждого значения t вычисления проводятся заново.

метод прямоугольников, метод трапеций, метод параболы. При методе прямоуг возникает ошибка – неточность вычислений. Но можно разделить на 2 и более интервалов. Появляется множество интегралов, но здесь уже возникает ошибка округления.

метод Гаусса

метод Монте-Карло

Имитационное моделирование. Имитация есть воспроизведение событий, происходящих в системе, т.е. исправной работы либо отказа rаждого элемента. Если время работы системы t, а ti - время безотказной работы элемента с номером i, то: событие ti>t означает исправную работу элемента за время (0; t];

событие ti<=t означает отказ элемента к моменту t.

Заметим, что ti - случайная величина, распределенная по закону fi(t), который известен по условию.

Моделирование случайного события «исправная работа k –го элемента за время (0; t]» заключается:

1)в получении случайного числа ti, распределенного по закону fi(t);

2)в проверке истинности логического выражения ti>t. Если оно истинно, то i-й элемент исправен, если ложно – он отказал.

Алгоритм моделирования таков:

1.Положить n=0, k=0. Здесь n – счетчик числа реализаций (повторений) случайного процесса; k – счетчик числа «успехов».

2.Получить три случайных числа t1,t2,t3, распределенных соответственно по законам f1(t),f2(t),f3(t).

3.Проверить истинность логического выражения L=[(t1>t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)] v [(t1>t)∩ (t2<=t)∩ (t3>t)] v [(t1<=t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)]

Если L=true, то положить k=k+1 и перейти к шагу 4, иначе перейти к шагу 4.

4.Положить n=n+1.

5.Если n<=N, перейти к шагу 2; иначе вычислить и вывести P(t)=k/N. Здесь N - число реализация случайного процесса; от него зависят точность и достоверность результатов моделирования.

Еще раз подчеркнем: Значение N задают заранее по соображениям обеспечения заданной точности о достоверности статистической оценки искомой величины P(t).