Основная волна прямоугольного волновода

Свойства волны. Как уже отмечалось, при а > b основной волной прямоугольного волновода является волна Н10. Она имеет наибольшую критическую длину волны, равную 2а. На заданной частоте размеры поперечного сечения волновода, при которых возможна передача энергии по прямоугольному волноводу, для этой волны можно выбрать наименьшими. При этом волновод будет иметь наименьшие массу, габариты и стоимость.

Полагая в (17) m = 1 и n = 0 и учитывая формулы (16), получаем следующие выражения для составляющих комплексных амплитуд векторов Ε и Η в случае волны Н10.

E my =-i(ωμπ/a)Η 0z sin(πx/a)exp(-iß 10 z),

H mx = i(ß 10 π/a) H 0z sin(πx/a)exp(-iß 10 z),

Н mz = Н 0z соs(π х/а)ехр(-iß 10 z),

E m x = E m z = 0, Н 0y = 0,

Структура поля волны Н10, построенная в соответствии с формулами (18), показана на рис.9 и 12. Остановимся на картине распределения поля волны Ню в плоскостях, параллельных широким стенкам волновода.

Фазовая скорость νф, скорость распространения энергии vэ, длина волны в волноводе Λ и характеристическое сопротивление Zc в случае волны Н10 вычисляются по формулам

(19)

Можно представить волну Н10 в виде суперпозиции парциальных ТЕМ-волн.

Поле волны Н10 не зависит от переменной у. Следовательно, поля парциальных волн также не должны зависеть от у, т.е. парциальные ТЕМ-волны должны распространяться, отражаясь от боковых (х = 0 и x = а) стенок волновода.

Пусть парциальная волна распространяется под углом φ к оси Ζ (волна 1 на рис.13). Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля этой волны Em1 определяется выражением

E m1 = у 0 A exp[-ik(x sin φ + z соs φ)], (20)

где А - некоторая (в общем случае комплексная) постоянная. Электрическое поле волны Н10 имеет пучность на плоскости x = а/2 и симметрично относительно этой плоскости. Поэтому должна существовать еще одна парциальная ТЕМ-волна распространяющаяся, как показано на рис.13. Комплексная амплитуда напряженности электрического поля этой волны равна Ё m2 , причем │Ёm2│= │Ёm1│= А. Для образования пучности электрического поля в плоскости x = a/2 необходимо, чтобы векторы Ёm1 и Ёm2 при x = а/2 складывались синфазно. Для этого достаточно, например, чтобы фаза вектора Ёm2 в точке (а, 0, 0) совпадала с фазой вектора Ёm1 в точке (0, 0, 0). С учетом данного условия вектор

Ё m2 =y 0 А ехр (-ik [(a-х) sin φ + z соs φ]). (21)

Для определения угла φ учтем, что на поперечном размере а широкой стенки волновода должна укладываться половина длины волны λΧ1 а на отрезке ОА - половина длины волны ТЕМ (λ/2). Из треугольника ОАВ (см. рис.14) следует равенство sin φ =

При этом kа sin φ = (2π/λ) λ/(2a) = π, kх sin φ = πx/a, и полное электрическое поле определяется выражением

Ёm = Ё m1 +Ё m2 = - у 0 2iA sin (πx/a) exp (-iß 10 z). (22)

Полученный результат отличается от выражения для Ёmy в формуле (17) лишь постоянным коэффициентом, что несущественно, так как формулы (17) были найдены с точностью до произвольного постоянного множителя. Аналогично вычисляются составляющие Нmx и Нmz. Они отличаются от соответствующих выражений в (17) лишь тем же постоянным множителем.

По мере повышения частоты (уменьшения λ) уменьшается угол φ и, следовательно, тем меньше по абсолютной величине становится продольная составляющая Нmz по сравнению с поперечной составляющей Нmx , т.е. структура волны Н10 начинает приближаться к структуре волны ТЕМ. Одновременно, как следует из (19), уменьшается разница между v H10 ф и с. Аналогично можно интерпретировать и другие типы волн в прямоугольном волноводе.

Каждая составляющая электрического поля должна удовлетворять волновому уравнению. Составляющая Еу, таким образом, должна удовлетворять уравнению

Для волны TE01Ey определяется из уравнения (9). Подставляя Еу в уравнение (10), получим

где =2?/?g а c - скорость света в свободном пространстве. Так как

где? - длина волны генератора в свободном пространстве, то из уравнения (11) получим

Это равенство дает

Рис. 1.

Отсюда видно, что длина волны в трубе больше, чем в свободном пространстве. Это вызвано тем, что фазовая скорость распространения волн в волноводе больше, чем скорость распространения в свободном пространстве. Дифференцируя, получим выражение для групповой скорости

фазовая скорость будет

Кривая зависимости?g от?, соответствующая уравнению, показана на рис. 1. С приближением? к 2b ?g неограниченно нарастает. Если?>2b, то из уравнения следует, что длина волны в волноводе становится мнимой величиной.

Это означает, что при?>2b всякое распространение волны в волноводе прекращается. Поэтому за предельную длину волны в прямоугольном волноводе с волной TE01 берут?пр = 2b.

Равенство

справедливо для любого типа волны, любого волновода любого сечения при условии, что значение?g соответствует тому типу волны и тому поперечному сечению, которые в этом случае рассматриваются.

Для того чтобы понять особенности распространения электромагнитной волны в прямоугольном волноводе и наличие в нем критической волны, необходимо исходить из того, что поле в нем есть результат сложения двух плоских волн. В самом деле, рассмотрим плоскости равных фаз и направление распространения двух одинаковых плоских электромагнитных волн, изображенных на рис. 2.

Рис. 2.

Пусть направления распространения волн I и II образуют одинаковые углы падения с боковыми стенками волновода. Сплошными линиями, перпендикулярными к направлениям волн I и II, показаны плоские фронты этих волн с фазой, соответствующей максимуму бегущей синусоидальной волны для некоторого момента времени. Пунктирные линии соответствуют плоскостям минимумов бегущей волны. Как это видно из построения, на стенках в местах пересечения максимумов одной волны с минимумом другой автоматически выполняются граничные условия. Фронты максимумов плоских волн пересекаются посередине волновода под такими же углами, как и фронты минимумов. При увеличении длины плоской волны X вертикальные углы между фронтами максимумов и минимумов также увеличиваются и, таким образом, возрастают углы падения и отражения. Это и обусловливает появление предельной волны. Действительно, рассмотрим луч, соответствующий направлению волны I и ее фронт, где находится в данный момент максимум бегущей волны. Угол падения луча обозначим через?. Из треугольника EOF (рис. 3) следует

?/2=bcos?, ?=2bcos?

Рис. 3.

Следовательно, максимальная длина волны, которая может распространяться по волноводу, ?пр =2b. В этом случае угол падения и отражения? = 0 и фронт плоской волны параллелен оси волновода. При таком падении волна будет отражаться от стенки к стенке в вертикальном направлении и вдоль волновода распространяться не будет.

Отсюда следует, что длина волны в волноводе, измеряемая вдоль оси волновода?g, больше длины волны в свободном пространстве?, и так как?пр =2b, то cos?= ?/?пр С другой стороны,

и, следовательно,

Скорость движения энергии по волноводу, т.е. групповая скорость, меньше фазовой скорости и скорости света с.

Из рис. 3 видим, что групповая скорость?гр=csin? или

Фазовая скорость

больше скорости света и в пределе стремится к бесконечности при?> ?пр, это и объясняет то, что длина волны в волноводе?g больше, чем в свободном пространстве.

Нас интересуют размеры поперечного сечения волновода, от которых зависят предельные волны всех типов. Если длина волны генератора, питающего волновод, ?, то для распространения волны Н01 необходимо, чтобы размер большей стороны волновода b подчинялся условию?пр = 2b> ?, или b> ?/2, т.е. длина волны в. свободном пространстве должна быть меньше предельной волны типа Н01. Размер стороны a волновода не должен превышать длины волны, иначе в нем будет распространяться волна Н02, для которой?пр=a. Таким образом, для заданной волны? генератора ширина волновода b определяется из условия? /2

Для того, чтобы не распространялась волна Н10, для которой?пр=2a, размер меньшей стороны волновода a должен быть меньше? /2.

Обычно размер меньшей стороны волновода принимают равным половине большой, т.е. а=b/2 = 0,35 ?.

Таким образом, в волноводе е размерами сторон b = 0,7?, а = 0,35 ?, может распространяться только волна Н01.

Анализ распространяющихся в прямоугольном волноводе волн обычно опирается на решения уравнений Максвелла, получаемые с учетом граничных условий, которым должны удовлетворять поля на стенках волновода. Эти решения хорошо известны, и более подробную информацию о них можно найти в литературе, список которой приведен в конце главы. Далее ограничимся лишь записью окончательных выражений, необходимых для последующего рассмотрения.

Прямоугольный волновод представляет собой полую металлическую трубку, минимальный внутренний размер широкой стенки которой должен превышать половину длины волны, измеренной в свободном пространстве на интересующей нас рабочей частоте (рис. 2.3). Обычно предполагают, что внутренняя поверхность металлических стенок волновода идеально проводящая. Боковые стенки действуют как короткозамыкатели с нулевым сопротивлением для тока, т. е. в сечении проведенном через центр волновода, соединены два короткозамкнутых четвертьволновых отрезка линии. Как будет показано в гл. 5, входное сопротивление этих отрезков бесконечно велико, что делает возможным распространение волны по волноводу.

Физически более наглядными являются рассуждения, основанные на представлении, что волна, введенная в волновод, ведет себя подобно лучу света, который последовательно отражается от стенок волновода. На рис. 2.4 изображен частный случай, когда волна при распространении отражается лишь от верхней и нижней стенок волновода. Очевидно, что при таком распространении время, затрачиваемое волной на прохождение волновода, больше, чем при обычном прямолинейном распространении без отражений. Поэтому длина волны измеренная вдоль оси

Рис. 2.3. Поперечное сечение прямоугольного волновода

Рис. 2.4. Внутренние отражения в прямоугольном волноводе

волновода, превышает длину волны в свободном пространстве. Угол падения волны при распространении в волноводе, а следовательно, и отражения от стенок волновода зависит от частоты и размеров его стенок а и

Объясняется это тем, что при идеальной проводимости стенок на их поверхности составляющие электрического поля, параллельные стенкам, должны обращаться в нуль, т.е. вдоль широкой и узкой стенок волновода должны образовываться стоячие волны с узлами электрического поля на стенках. Как показывает более подробный анализ, по мере понижения частоты угол падения волны на стенки уменьшается, т.е. на более низкой частоте волна проходит отрезок волновода, испытывая большее число отражений. Если и далее понижать частоту, то всегда найдется такая частота, на которой для прохождения сколь угодно малого отрезка волновода волна должна претерпеть бесконечно большое число отражений от стенок. Длина волны, на которой это происходит, называется критической Очевидно, что при перенос энергии по волноводу прекращается. В простейшем случае, когда отражения происходят лишь от узких стенок волновода,

где размер широкой стенки волновода - число полупериодов стоячей волны, укладывающееся вдоль широкой стенки. Основной (низшей) моде соответствует Выпишем выражения для длины волны волноводе и ее характеристического сопротивления:

где А. 0- длина волны в свободном пространстве.

В (2.19) нижние индексы ТЕ и ТМ соответствуют поперечным электрической и магнитной модам соответственно

Рассмотрим подробнее смысл термина «мода», который часто встречается в данном и следующих разделах. Удобно определять его как одно из возможных решений уравнения Максвелла, удовлетворяющее граничным условиям на стенках волновода. Особенностью ТЕ-моды (поперечной электрической) является то, что все составляющие ее электрического поля лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Соответственно в той же плоскости располагаются все составляющие магнитного поля ТМ-моды (поперечной магнитной). Более подробная классификация основана на числе полупериодов стоячей волны вдоль широкой и узкой стенок волновода. Если число полупериодов вдоль размера число

полупериодов вдоль размера то для обозначения моды используют сокращение или . Низшей (основной), когда является мода При заданных размерах поперечного сечекия волновода этой моде соответствует наибольшая критическая длина волны. Для произвольной моды в прямоугольном волноводе

Из сопоставления характеристических сопротивлений для и ТМ-мод [См. формулу (2.19)] следует, что при характеристическое сопротивление ТЕ-моды превышает 377 Ом и стремится к бесконечности, когда отношение А. о стремится к единице. Соответственно для распространяющихся ТМ-мод это сопротивление ниже 377 Ом и стремится к нулю при

Если волновод полностью заполнен диэлектриком с относительной проницаемостью , то его влияние можно учесть, если (2.20) величину умножить на а множитель 377 в (2.19) разделить на

Пример 2.5. В прямоугольном волноводе с поперечными размерами 2,3 X 1 см. распространяется низшая мода. Частота колебаний Определить: критическую длину волны, длину волны в волноводе, характеристическое сопротивление.

1. Длина волны в свободном пространстве

Критическая длина волны

Здесь для низшей моды и см. Следует отметить, что критическая длина волны превышает длину волны в свободном пространстве.

2. Длина волны в волноводе

3. Характеристическое сопротивление

Пример 2.6. Известны размеры поперечного сечения прямоугольного волновода 2,8 X 1,2 см. Определить: 1) минимальную частоту, иа которой еще возможно распространение в волноводе низшей моды; 2) может ли одна из высших мод распространяться по волноводу на частоте критическую длину волны при и на частоте 14 ГГц для этой моды - длину волны в волноводе и характеристическое сопротивление.

На этой частоте еще возможно распространение низшей моды в волноводе с заданными размерами.

2. На частоте 8 ГГц длйиа волны в свободном пространстве

Так как 3,75 будет распространяться.

Так как см, то мода не может распространяться.

3. На частоте

См. Так как мода будет распространяться, причем для нее

Пример 2.7. На частоте по прямоугольному волноводу с поперечными размерами см распространяется мода Определить: а) критическую частоту (частоту отсечки); б) длину волны в волноводе; в) характеристическое сопротивление.

Как правило, стремятся к тому, чтобы вся энергия по волноводу переносилась низшей модой. Чтобы обеспечить такой одноволновый режим работы, необходимо определенным образом выбрать размеры поперечного сечения волновода, исходя из условия, что распространяющейся моде соответствует Для моды а, а для следующих при по порядку мод а и Поэтому обычно Структура полей низшей и нескольких мод более высокого порядка представлена на рис. 2.5. Обратите внимание, что силовые линии электрического и магнитного полей ортогональны, т. е. перпендикулярны друг другу.

Прямоугольные волноводы находят практическое применение на частотах от 1 до Выбор материала, из которого они выполняются, зависит от требований, предъявляемых к волноводу. Например, если необходима высокая стабильность размеров, то используются материалы с низким температурным коэффициентом теплового расширения, такие как инвар или ковар. Когда основным является требование малых потерь, внутреннюю поверхность стенок покрывают тонким слоем золота либо серебра. Серийно выпускаемые волноводы чаще всего изготавливают из латуни, меди или алюминия.

Программа позволяет определять для произвольной моды длину волны в прямоугольном волноводе и ее характеристическое сопротивление, если заданы внутренние размеры поперечного сечения При написании программы использовались выражения программе предусмотрена проверка условий, при выполнении которых становится возможным распространение моды. Такой случай иллюстрируется в приводимом вслед за текстом программы диалоге.

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

(см. скан)

9. Направляемые электромагнитные волны. Направляющие системы

Под направляющей системой понимают устройство, ограниченное в двух измерениях и осуществляющее передачу ЭМ энергии в третьем измерении. Волны, которые распространяются в таких направляющих системах получили название - направляемые электромагнитные волны. Такие направляющие системы называются волноводами.

9.1. Недостатки обычных линий передачи преимущества волноводов

Широкое развитие получили двухпроводные и коаксиальные линии еще в прошлом веке.

Недостатки: В 2-х проводных и коаксиальных линиях резко возрастает затухание энергии с ростом частоты. Факторы:

В двухпроводных линиях при 1 м и короче потери такие больше, что ее нецелесообразно применять; на ген = 3 м, затухание в коаксиальном кабеле в среднем 0,2 дБ/м ген = 10 см затухание 2 дБ/м, т.е. ничего не дойдет от передатчика к антенне.

Из двухпроводной линии можно сделать волновод, но так не делают на практике, только на бумаге, как в детском конструкторе. Входное сопротивление отрезка длиной имеет бесконечно большое значение:

Если подключить отрезок к линии, то он никак не повлияет, т.к. . И так сколько угодно можно подключить таких отрезков. Получили волновод.

Достоинства:

1. Трубка жесткая. Простая конструкция.
2. Фактор диэлектрических потерь исключается.
3. Фактор излучения - исключается.
4. Плотность токов значительно меньше, т.к. они распределены по всем стенкам.
5. Можно передать большие мощности.

Академик Капица подсчитал, что в трубе (круглой) диаметром 1 м. можно передать всю мощность Красноярской ГЭС.

9.1.1. Типы волноводов

Различают 2 типа:

Односвязные волноводы,
- двухсвязные волноводы.

Порядок связности определяется тем, что поле распределено в какой-то области и не с чем не связано.

Используются и сложные формы сечения.

Все это односвязные волноводы.

Волны могут распространятся вдоль диэлектрических стержней. Их называют диэлектрическими волноводами, а в оптике - световодами. Металла вообще нет.

К 2-х связным системам относится коаксиальный волновод. Поле определяется уже двумя проводниками.

9.2. Особенности направляемых ЭМВ

Рассмотрим идеально проводящую плоскость, на которую под некоторым углом падает плоская ЭМВ.

Выясним, как распределено ЭМП над плоскостью, если на нее падает ЭМВ. В т.1 поступает отраженная волна и додающая. В каждой точке над металлической плоскостью ЭМП определяется суперпозицией полей падающих и отраженных. Результат суперпозиции зависит от того, в каких фазах эти поля складываются. Там где фазы одинаковы, будет max, где в противофазе будет min. Из граничных условий. Касательная составляющая вектора Е должна обращаться в 0, поэтому вторую плоскость располагаем в нулях. Физическая основа передачи энергии по волноводам связана с многократным отражением ЭМВ от идеально проводящих стенок. В волноводах могут распространяться ЭМВ с различной структурой поля. Угол j зависит от частоты. С уменьшением частоты угол j уменьшается.

Из качественного рассмотрения. В волноводе существует минимальная частота (критическая f кр). Ниже этой критической частоты энергию по волноводу передавать нельзя f = f кр ( = 0) .

Пример: Если по трубе подать световые волны в критическом режиме, то в конце трубы будет темно. При f f кр энергия не передается.

Покажем, что V ф всегда > С.

Перемещение фронта одинаковых фаз не совпадает с осью волновода. Почему так происходит? Волна идет под углом многократно отражаясь.

Направление распространения волны из т. М 1 в т. М 2 показано. Волна распространяется со скоростью света. В т. М 1 был 0, через длину волны в т. М 2 тоже 0 (расстояние равное ). За это же самое время вдоль оси расстояние будет пройдено другое (фазовый фронт тот же). Чтобы в т. М 3 прийти с той же фазой волне надо двигаться с большей скоростью.

Вывод: в всегда > , V ф всегда > С.

При распространении ЭМВ всегда появляется продольная составляющая либо Е либо Н.

9.3. Волновые уравнения полей в волноводе произвольного сечения

Стенки трубы идеально проводящие. Среда с параметрами , неизменна. Генератор, источник сторонних полей далеко вынесен. Тогда в любой точке этого волновода справедливы уравнения Максвелла:

Под F понимаем любую проекцию (Е х Е я и т.д.).

Как можно решить такое уравнение? Много методов. Один из наиболее удобных - метод разделения переменных по Фурье. Идея метода Фурье заключается в том, что решение ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит от одной из координат. Энергия в волноводе распространяется вдоль оси Z, это обстоятельство мы учтем, выделив функциональную зависимость от Z.

F (x,y,z) = f (x,y) Ф (z) (9.3.2.)

Поскольку решение записано в такой форме, оно должно удовлетворять уравнению.

Проверка:

Ф (z)()+ Ф (z)( ) + f (x,y) ()+ k 2 f (x,y) Ф (z) = 0

Разделим все члены уравнения на коэффициент при k 2

(f (x,y) Ф (z))

+ = - k 2

+ =-k 2 s (9.3.4.)

Индекс “S” означает, что поля изменяются только в поперечных координатах. Это поперечное волновое число.

2 - продольное волновое число

k 2 = k 2 s + 2 (9.3.5.)

для общего случая

Общее решение представляет собой два волновых процесса с амплитудами А и В и одинаковым распределением поля в поперечном сечении (f (x,y)) и распространяющихся в противоположных направлениях. Поскольку волновод бесконечно длинный, отраженной волны нет, В = 0. Нет физических условий для возникновения отраженной волны. Общая запись полей для произвольного сечения волновода:

Для конкретизации задаются , Е (х,у) Н (х,у)

В общем виде уравнения не решаются.

Установим связь между в свободном пространстве, в и кр.

В свободном пространстве волновое число:

k = (9.3.10.)

Продольное волновое число = (9.3.11.)

Поперечное волновое число k s = (9.3.12.)

k 2 = k s 2 + 2 () 2 = () 2 + () 2 (9.3.13.)

В = (9.3.14.)

если умножить на f правую и левую часть уравнения (9.3.14) получим:

V ф = в f = (9.3.15.)

9.4. Классификация ЭМВ

В основе классификации лежит критерий - наличие или отсутствие одной из продольных составляющих. Классификация волн позволяет упростить анализ волн в волноводе и записать все составляющие полей через одну составляющую. Установим связь между поперечными составляющими полей и продольными. Для этой цели спроектируем уравнения Максвелла на оси координат:

Проекции на оси х, у, z:

Начнем с уравнения (9.4.2.). Из поперечных составляющих имеем Е х и Н у. Эти же составляющие имеем в (9.4.6.). Из (9.4.2.) находим Н у и подставляем в уравнение (9.4.6.). В результате подстановки составляющие Е х, Е у, Н х, Н у будут выражены следующим образом:

Эти соотношения показывают, что отличные от 0 поперечные составляющие полей в волноводе имеют место, когда одна из продольных составляющих обращается в 0. Различают 4 класса полей.

Первый класс - Электрические волны.

Для этого класса Е z 0 , H z = 0 (Е - волны)

Второй класс - Магнитные волны.

Для этого класса H z 0 , E z = 0 (Н - волны)

Третий класс - Поперечные волны, Т - волны.

H z = 0 , E z = 0 (пример плоская ЭМВ)

Четвертый класс - Гибридные волны.

E z 0 , H z 0 (такие волны характерны для световода).

Конкретизируем связь поперечных и продольных составляющих для каждого класса.

9.4.1. Е - волны

Е z 0 , H z = 0

Смысл классификации:

Для расчета полей достаточно найти продольную составляющую.

9.4.2. Н - волны

E z = 0 , H z 0

= Z c H - называют характеристическим сопротивлением Н - волны.

Аналогично для волны типа Е:

= Z c E = - характеристическое сопротивление волны типа Е. (9.4.2.2.)

Что произойдет, если Е z = 0, H z = 0 ? “Т - волна”. Отличные от 0 поперечные составляющие могут существовать только в одном случае, когда k s = 0, тогда неопределенность (0/0) может дать при раскрытии конечное число.

k s = 0 кр = =

Волна “Т” существует в таких линиях передачи, в которых может поддерживаться устойчивое распределение электрических и магнитных полей в поперечном сечении волновода.

Пример: “Т” волна в коаксиальной линии

Коаксиальная линия обладает таким свойством. Существует “Т” волна. По такой линии можно передать и постоянный и переменный ток.

Если будет заряд, он создает поле, которое растекается по поверхности.

Убираем внутренний проводник. Пустая труба. Переменное электрическое поле будет порождать переменное магнитное поле. В поперечном сечении устойчивое распределение полей создать нельзя. В полых трубах волны “Т” распространяться не могут, а только Е, либо Н. В двух связных системах “Т” волны.

9.5. Прямоугольный волновод

Это металлическая труба прямоугольного сечения.

Задача: 1) найти распределение полей.
2) найти кр

Знаем, что все поля в волноводе можно рассчитать через продольную составляющую.

“Н” - волны в прямоугольном волноводе.

Требуется найти H z:

1) H z = ? 2) E x , E y , H x , H y - находим через H z все остальные. 3) конкретизация полей по выполнению граничных условий.

Составляющая Н z удовлетворяет волновому уравнению.

const разделения будем называть поперечными волновыми числами.

3) Запишем граничные условия для данной задачи.

а) E x = 0 при у = 0 ; y = b

б) Е у = 0 при х = 0 ; x = a

E x (A sin k x x + B cos k x x) k y (C cos k y y - D sin k y y) (9.5.11.)

Накладываем граничные условия:

const D нельзя приравнивать к 0, т.к. исчезнет поле H z , значит sin k y y = 0

k y b = n ; k y =

n = 0, 1, 2 . . . (9.5.13.)

3) E y таким же образом можно показать, что const А = 0 из условия

Е у = 0 при х = 0 (9.5.14.)

4) Е у = 0 при х = а

k x = (9.5.15.)

m = 0, 1, 2 . . .

H z (x,y) = H 0 cos () x cos () y . е j(w t-g z) ; H 0 = B D (9.5.16.)

В рамках задачи нельзя определить Н 0 , т.к. не задана мощность волны на входе. Окончательно другие составляющие полей.

Составляющие Н х, Н у, Е х, Е у умножаем на е j(w t-g z) (9.5.17.)

Соотношения (9.5.5.), (9.5.13.), (9.5.15.) позволяют определить кр.

Кр =; k s 2 = k x 2 + k y 2 = () 2 + () 2

Каждому набору значений индексов m и n соответствует свое распределение поля в волноводе, своя критическая длина волны Н mn . Минимальные значения индексов если m = 0, n = 0, но поля нет. Одновременно индексы не могут быть равны нулю, по частям возможно.

m = 0, 1, 2, 3 . . .

n = 0, 1, 2, 3 . . .

Индексы m и n определяет распределение поля по координатам х, у. С учетом периодичности функции cos, число m имеет смысл - количество полуволн, укладывающихся вдоль а, n - число полуволн, укладывающихся вдоль b. Условием распространения волны в волноводе, является ген < кр. В волноводе бесчисленное множество волн, но не все эти волны могут распространяться. Распространяются только те, которые удовлетворяют условию: ген < кр

В – длина волны в волноводе.

Кр зависит от размеров поперечного сечения а и b, и значения индексов m и n. Максимальная кр будет для индексов m = 1, n = 0, т.е. волны, у которой значения индексов минимальны.

a > b ; m = 1 , n = 0

Максимальной кр, обладает волна Н 10 * кр = 2а. У всех других волн критическая длина волны меньше, волну Н 10 называют основной волной в волноводе. Она наиболее часто используется.

Выделим ось, где откладываем .

Диаграмма спектра волн в прямоугольном волноводе.

Если ген > 2a, то волны не распространяются.

m = 1, n = 0 Н 10 кр = 2а

m = 2 , n = 0 H 20 , кр = а

m = 0 , n = 1 H 01 , кр = 2b

Стандартный волновод 2b < a для волны Н 10:

a ген 2a - одноволновый режим.

Диапазон использования одноволновой области 80 - 85 %. Не рекомендуется подходить к критическому режиму (справа и слева).

Предположим, имеем прямоугольный волновод, на входе этого волновода имеется генератор СВЧ диапазона и возбудитель волны.

Возбудитель может возбудить любую волну (Н 10 , Н 20 и т.д.). На выходе стоит похожее устройство, принимающее сигнал индикатора. Эксперимент заключается в следующем: генератор перестраивается в широком диапазоне частот.

Если ген > 2а, индикатор ничего не показывает, энергия не идет по волноводу.
ген 2а Н 10
ген < а Н 20 часть энергии идет на волне Н 20
(условно из 10 Вт генер. 8 Вт передается волной Н 20)
ген < 2b H 01

Специалисту нужно, чтобы была одна волна, для этого нужно уменьшать поперечное сечение волновода (частота генератора остается неизменной).

В реальных условиях нереально создать условия, когда волны существуют в волноводе независимо друг от друга. Многоволновое распространение нежелательно, т.к. информация из канала в канал передается. Стараются избежать взаимной связи между волнами и использовать одноволновый режим. Волна - mode - по английски. Говорят одномодовый, многомодовый.

9.5.1. Основная волна в прямоугольном волноводе. Преимущества волны Н 10

1. Имеет место максимальный диапазон одноволновой передачи.
2. При передаче энергии на волне Н 10 потери энергии волны минимальны.
3. Поперечные размеры волновода наименьшие при передаче волны типа Н 10 .

Выпишем составляющие волны Н 10

Восстановим из уравнений распределение силовых линий Е и Н поля для основной волны. Рассмотрим поперечное сечение волновода.

Электрическое поле волны Н 10 имеет одну составляющую Е у, она max в середине волновода.

Поле Е направлено от одной стенки к другой. Магнитное поле имеет 2 составляющие Н х и Н z .

У боковых стенок волновода Н Z максимальна. В силу непрерывности линий магнитного поля Н z замыкается через Н х (Н z переходит в Н х). Эта картинка перемещается в волноводе со скоростью:

9.5.2. Токи в стенках волновода

В силу закона электромагнитной индукции переменное магнитное поле вблизи проводников возбуждает электрический ток. Переменное магнитное

поле вблизи стенок будет создавать токи проводимости. Посмотрим как протекают токи? Знание токов позволяет решить 2 задачи:

1. Рассчитать потери в волноводе.
2. Определить как осуществить разрез стенок, чтобы из волновода извлечь энергию, либо наоборот, не нарушать распределения токов.

Установим связь между плотностью поверхностных токов и напряженностью магнитного поля. Разберем простейший случай.

Вблизи стенки волновода магнитное поле всегда имеет только касательную составляющую. Применим закон

полного тока к контуру, часть которого находится в металле, часть нет.

Определим по частям:

Предположим контур мал, Нt всегда перпендикулярна СВ, АD. Участок АВ находится в глубине металла. В силу поверхностного эффекта токи поверхностные быстро затухают. Значение магнитного поля на участке ВА очень мало. Этот интеграл обращается в 0.

Для малых АВСD

Плотность поверхностного тока числено равна касательной составляющей магнитного поля и они взаимно перпендикулярны.

Чтобы восстановить распределения токов надо воспользоваться разверткой.

Составляющая Н х порождает ток J z . В широкой стенке 2 тока, продольный J z , поперечный J y . В боковой стенке поперечные токи J y .

Н х J z , H z J x

Если щель в волноводе пересекает токи, то такая щель будет хорошо излучать, если щель вдоль токов, то она не излучает. Щели 1, 2 - не излучают; 3,4 - излучают.

9.5.3. Передача энергии по волноводу

Рассмотрим процесс передачи энергии на примере основной волны Н 10:

П z ср = Е х Н у * - Е у Н х * = - Е у Н х. Энергия, передаваемая вдоль волновода определяется только поперечными составляющими полей. (9.5.3.1.)

E y H x * =() 2 H 0 2 Z c H sin 2 () (9.5.3.)

Вычислим теперь среднюю мощность:

средняя мощность, передаваемая в волноводе. (9.5.3.3.)

Передаваемая мощность по волноводу зависит от амплитуды продольной составляющей магнитного поля Р ср Н 0 2 . Мы можем увеличить передаваемую мощность, увеличивая размеры волновода. Найдем Н 0:

H 0 = (9.5.3.4.)

Эта составляющая числено равна поперечному току в стенках волновода. Она возбуждает в стенках волновода ей ток.

Н 0 = | J x| = | J y |

E y = - () Z c H H 0 sin

E y0 = Z c H () . > (9.5.3.5.)

Напряженность электрического поля возрастает с ростом передаваемой по волноводу мощности.

Е проб max 30 для воздуха

a x b = 2,3 x 1,0 см Р ср max 1 Мвт

При проектировании различных устройств обязательно делают запас прочности:

Р раб = (0,2 ¸ 0,3) Р ср max

Один из путей повышения уровня передаваемой мощности связан с заполнением его средой, имеющей более высокое значение пробивного напряжения, чем у воздуха.

9.5.4. Потери энергии в волноводе

Можно выделить 3 основных фактора, которые несут ответственность за потери энергии:

1. Конечная проводимость стенок волновода. За счет этого часть токов в стенках волновода преобразуется в тепло, греет волновод (омические потери).
2. Несовершенство среды, которая заполняет волновод (диэлектрические потери).
3. Связан с нарушением однородности стенок. Из-за непрерывной эксплуатации или других факторов образуются какие-то щели и через них проходит излучение энергии.

Любая из этих причин приводит к тому, что - постоянная распространения величина комплексная, как и в случае плоских волн.

Фазовая постоянная

Коэффициент затухания.

Предположим, что имеется отрезок волновода.

На входе Р 0 , на выходе Р вых. Сколько теряется энергии?

В случае, когда параметр << 1, тогда:

Основным фактором потерь являются омические потери.

Нужно собрать все потери в стенках волновода:

R s - поверхностное сопротивление.

В области (1) потери большие, так как частота близка к критической. А дальше с ростом частоты растет поверхностное сопротивление металла, т.е. работает поверхностный эффект. Расчет по формуле (9.5.4.3.) дает чуть меньше коэффициент затухания, чем на самом деле. Поскольку мы не учитываем качество обработки поверхности. Для уменьшения потерь нужно высокое качество обработки и материал с максимально большой проводимостью. С этой целью используется покрытие стенок серебром. Реально достижимые потери (0,1 ¸ 0,01) дБ/м.

Волновод, заполненный диэлектриком

9.5.5. Е - волны в прямоугольном волноводе

Наряду с волнами Н - типа, в прямоугольном волноводе могут распространяться волны Е- типа. Анализ волн проводится по той же схем, что и в случае Н - волн.

Е - волны Е z 0, H z = 0

Решается уравнение:

Результатом решения будет:

Запись удовлетворяет граничным условиям на стенках волновода.

m = 1, 2, 3 . . . m 0

n = 1, 2, 3 . . . n 0

Если одно из чисел m или n обращается в 0, то волны не будет.

Е e = 0 при х = 0, х = а, Е х = 0 при у = 0, у = b.

Каждому набору индексов m и n соответствует своя структура поля в поперечном сечении, каждая из волн имеет свою кр.

Кр = (9.5.5.3.)

Выражение (9.5.5.3.) совпадает с выражением (9.5.18) для Н - волн. Волны Н и Е с одинаковыми индексами m и n имеют одно значение кр и V ф. Пример: Н 11 , Е 11 - одинаковые кр, V ф. Волны, имеющие одинаковые V ф, кр, но различные структуры в поперечном сечении называются вырожденными.

У волны Е индексы m и n не равны 0. У “Н” один из индексов может быть равен нулю. Из “E” - волн самая простая Е 11 .

Магнитное поле для волн типа Е всегда в плоскости поперечного сечения волновода, т.к. линии Е всегда перпендикулярны Н.

Для волн “Е” характерно присутствие Е z вдоль оси Z. Волноводы с волной “Е” используются в ускорителях и в электровакуумных приборах (в тех случаях, где необходимо осуществить взаимодействие элементарных частиц с электромагнитным полем).

9.6. Круглые волноводы

Представляют собой металлическую трубу круглого сечения. Для изучения полей в каждой точке надо применить цилиндрическую систему координат.

Особенности: своеобразная запись граничных условий. Внутри поверхности, любая касательная составляющая

( = 0) электрических полей должна обращаться в 0. Требования для граничных условий.

1) = 0 при r = R.

2) = 0 при r = R.

9.6.1. Волны “Е” типа в круглом волноводе

Е z 0, H z = 0

Это уравнение должно решаться в цилиндрических координатах.

Решаем по м. Фурье с разделением переменных:

Результат разделения: n 2 = 2 – константы разделения

Структуру ЭМП волны любого типа в волноводе удобнее всего представлять путем построения силовых линий. На рис.1.3 показана структура ЭМП волны в прямоугольном волноводе. Волна - это поперечно-электрическая волна. Электрическое поле имеем в поперечном сечении, а магнитное поле, как в поперечном, так и в продольном.

Вдоль стороны " " волновода электрическое поле изменяется по синусоидальному закону, имеет место одна вариация (индекс m =1) поля. Вдоль OX на отрезке 0-a электрические силовые линии везде нормальны к плоскости широкой стенки волновода. Густота линий отражает величину напряженности электрического поля.

Вдоль узкой стенки волновода распределение амплитуды электрического поля равномерное, при изменении координаты Y поле не изменяется, нет вариаций поля (n =0).

Порядок построения электромагнитного поля волны следующий:

* Нанести электрические силовые линии.

* Построить линии тока смещения, сдвинув структуру электрических силовых линий вдоль оси волновода на .

* Построить магнитные силовые линии, замкнув их по правилу буравчика вокруг токов смещения.

* По примыкающим к поверхности магнитным силовым линиям, пользуясь граничным условием, построить структуру поверхностных токов проводимости .

Помнить: электрические и магнитные силовые линии перпендикулярны друг другу.

Подключим ко входу двухпроводной длинной линии генератор синусоидальных колебаний. Вдоль линии будет распространяться бегущая волна, зависимость напряженности поля Е U которой от координаты Z представлена на рис.1.3.

Перейдем от длинной линии к волноводу, навесив на одну и вторую стороны линии четвертьволновые короткозамкнутые отрезки. В отрезках будет возбуждаться стоячая волна с максимумом напряженности в центре волновода. Зависимость Е U от координаты C представлена на рис.1.3.

Структура токов смещения (они протекают в диэлектрике (в воздухе) между двумя широкими стенками волновода) повторяет структуру электрических силовых линий, но вдоль оси z они сдвинуты на , так как ток смещения прямо пропорционален скорости изменения напряженности электрического поля. Зависимость d см от координаты Z показана на рис.1.3. Магнитные силовые линии охватывают токи смещения и располагаются в плоскости XOZ (рис.1.5). Графическим способом, используя формулу , находим направление поверхностных токов проводимости на всех стенках волновода (рис.1.5).

Рис. 1.5 Структура поля и токов на стенках прямоугольного волновода для основной волны .

Электрическое поле основной волны в любой точке поперечного сечения поляризовано линейно, а плоскость поляризации параллельна плоскости YOZ. Иногда ее называют электрической плоскостью.

Магнитное поле основной волны лежит в плоскости || XOZ. Иногда ее называют магнитной плоскостью.

В отличие от поляризации электрического поля магнитное поле в разных точках поперечного сечения поляризовано по-разному. Поясним это с помощью рис.1.6.

Рис. 1.6 К пояснению поляризационных свойств магнитного поля волны .

Точки A, B и C являются точками наблюдения, по направлению к которым движется волна (постепенно передвигаем к точкам A, B и C силовые линии вектора H). В точке В () магнитное поле будет поляризовано линейно. В точке A поляризация будет левой эллиптической. В точке С поляризация будет правой эллиптической.

Поэтому можно сформулировать такое правило. Справа от осевой линии прямоугольного волновода магнитное поле основной волны имеет правую эллиптическую поляризацию, а слева от осевой линии левую эллиптическую. Это различие в поляризации используется при создании невзаимных устройств с ферритами.