Первое уравнение максвелла. Уравнения максвелла и их физический смысл

Уравнения Максвелла — система дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле и его связь сэлектрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца образуют полную систему уравнений классической электродинамики . Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее, влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом , но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму (одним из ярчайших примеров здесь может служить специальная теория относительности).

История

Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом, возникли на основе ряда важных экспериментальных открытий, которые были сделаны в начале XIX века. В 1820 году Ганс Христиан Эрстед обнаружил, что пропускаемый через проводгальванический ток заставляет отклоняться магнитную стрелку компаса. Это открытие привлекло широкое внимание учёных того времени. В том же 1820 году Био и Савар экспериментально нашли выражение для порождаемой током магнитной индукции (закон Био-Савара ), и Андре Мари Ампер обнаружил, чтовзаимодействие на расстоянии возникает также между двумя проводниками, по которым пропускается ток. Ампер ввёл термин «электродинамический» и выдвинул гипотезу, что природный магнетизм связан с существованием в магните круговых токов.

Влияние тока на магнит, обнаруженное Эрстедом, привело Майкла Фарадея к идее о том, что должно существовать обратное влияние магнита на токи. После длительных экспериментов, в 1831 году, Фарадей открыл, что перемещающийся возле проводника магнит порождает в проводнике электрический ток. Это явление было названо электромагнитной индукцией. Фарадей ввёл понятие «поля сил» — некоторой среды, находящейся между зарядамии токами. Его рассуждения носили качественный характер, однако они оказали огромное влияние на исследования Максвелла.

После открытий Фарадея стало ясно, что старые модели электромагнетизма (Ампер, Пуассон и др.) неполны. Вскоре появилась теория Вебера, основанная на дальнодействии. Однако к этому моменту вся физика, кроме теории тяготения, имела дело только с близкодейственными силами (оптика, термодинамика, механика сплошных сред и др.). Гаусс, Риман и ряд других учёных высказывали догадки, что свет имеет электромагнитную природу, так что теория электромагнитных явлений тоже должна быть близкодейственной. Этот принцип стал существенной особенностью теории Максвелла.

В своём знаменитом «Трактате об электричестве и магнетизме» (1873) Максвелл писал:

"Приступая к изучению труда Фарадея, я установил, что его метод понимания явлений был так же математическим, хотя и не представленным в форме обычных математических символов. Я также нашёл, что этот метод можно выразить в обычной математической форме и таким образом сравнить с методами профессиональных математиков".

Заменяя фарадеевский термин «поле сил» на понятие «напряжённость поля», Максвелл сделал его ключевым объектом своей теории:

Если мы примем эту среду в качестве гипотезы, я считаю, что она должна занимать выдающееся место в наших исследованиях, и что нам следовало бы попытаться сконструировать рациональное представление о всех деталях её действия, что и было моей постоянной целью в этом трактате.

Подобная электродинамическая среда явилась абсолютно новым понятием для ньютоновской физики. Последняя изучала взаимодействие между собой материальных тел. Максвелл же записал уравнения, которым должна подчиняться среда, определяющая взаимодействие зарядов и токов и существующая даже в их отсутствие.

Электрический ток создаёт магнитную индукцию (закон Ампера )

Анализируя известные эксперименты, Максвелл получил систему уравнений для электрического и магнитного полей. В 1855 году в своей самой первой статье «О фарадеевых силовых линиях» («On Faraday’s Lines of Force») он впервые записал в дифференциальной форме систему уравнений электродинамики, но не вводя ещё ток смещения. Такая система уравнений описывала все известные к тому времени экспериментальные данные, но не позволяла связать между собой заряды и токи и предсказатьэлектромагнитные волны. Впервые ток смещения был введён Максвеллом в работе «О физических силовых линиях» («On Physical Lines of Force»), состоящей из четырёх частей и опубликованной в 1861-1862 годах.

Обобщая закон Ампера, Максвелл вводит ток смещения, вероятно, чтобы связать токи и заряды уравнением непрерывности, которое уже было известно для других физических величин. Следовательно, в этой статье фактически была завершена формулировка полной системы уравнений электродинамики. В статье 1864 года «Динамическая теория электромагнитного поля» («A dynamical theory of the electromagnetic field») рассмотрена сформулированная ранее система уравнений из 20 скалярных уравнений для 20 скалярных неизвестных. В этой статье Максвелл впервые сформулировал понятие электромагнитного поля как физической реальности, имеющей собственную энергию и конечное время распространения, определяющее запаздывающий характер электромагнитного взаимодействия.

Переменный поток магнитного поля создаёт электрическое поле (закон Фарадея )

Оказалось, что не только ток, но и изменяющееся со временем электрическое поле (ток смещения) порождаетмагнитное поле. В свою очередь, в силу закона Фарадея, изменяющееся магнитное поле снова порождает электрическое. В результате, в пустом пространстве может распространяться электромагнитная волна. Из уравнений Максвелла следовало, что её скорость равна скорости света, поэтому Максвелл сделал вывод об электромагнитной природе света.

Часть физиков выступила против теории Максвелла (особенно много возражений вызвала концепция тока смещения). Гельмгольц предложил свою теорию, компромиссную по отношению к моделям Вебера и Максвелла, и поручил своему ученику Генриху Герцу провести её экспериментальную проверку. Однако опыты Герца однозначно подтвердили правоту Максвелла.

Максвелл не использовал векторных обозначений и записывал свои уравнения в достаточно громоздком компонентном виде. В своём трактате он, кроме того, частично использовалкватернионную формулировку. Современная форма уравнений Максвелла появилась около 1884 года после работ Хевисайда, Герца и Гиббса. Они не только переписали систему Максвелла в векторном виде, но и симметризовали её, переформулировав в терминах поля, избавившись отэлектрического и магнитного потенциалов, игравших в теории Максвелла существенную роль, поскольку полагали, что эти функции являются лишь ненужными вспомогательными математическими абстракциями. Интересно, что современная физика поддерживает Максвелла, но не разделяет негативное отношение его ранних последователей к потенциалам.Электромагнитный потенциал играет важную роль в квантовой физике и проявляется как физически измеряемая величина в некоторых экспериментах, например, в эффекте Ааронова-Бома.

Система уравнений в формулировке Герца и Хевисайда некоторое время называлась уравнениями Герца-Хевисайда. Эйнштейн в классической статье «К электродинамике движущихся тел» назвал их уравнениями Максвелла-Герца. Иногда в литературе встречается также название уравнения Максвелла-Хевисайда.

Уравнения Максвелла сыграли важную роль при возникновении специальной теории относительности (СТО). Джозеф Лармор (1900 год) и независимо от него Хенрик Лоренц (1904 год) нашли преобразования координат, времени и электромагнитных полей, которые оставляют уравнения Максвелла инвариантными при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Эти преобразования отличались от преобразований Галилея классической механики и, следуя Анри Пуанкаре, стали называться преобразованиями Лоренца. Они стали математическим фундаментом специальной теории относительности.

Распространение электромагнитных волн со скоростью света первоначально интерпретировалось как возмущения некоторой среды, так называемого эфира. Были предприняты многочисленные попытки (см. исторический обзор) обнаружить движение Земли относительно эфира, однако они неизменно давали отрицательный результат. Поэтому Анри Пуанкаре высказал гипотезу о принципиальной невозможности обнаружить подобное движение (принцип относительности). Ему же принадлежит постулат о независимости скорости света от скорости его источника и вывод (вместе с Лоренцем), исходя из сформулированного так принципа относительности, точного видапреобразований Лоренца (при этом были показаны и групповые свойства этих преобразований).

Эти две гипотезы (постулата) легли и в основу статьи Альберта Эйнштейна (1905 год). С их помощью он также вывел преобразования Лоренца и утвердил их общефизический смысл, особо подчеркнув возможность их применения для перехода из любой инерциальной системы отсчета в любую другую инерциальную. Эта работа фактически ознаменовала собой построение специальной теории относительности. В СТО преобразования Лоренца отражают общие свойства пространства и времени, а модель эфира оказывается ненужной. Электромагнитные поля являются самостоятельными объектами, существующими наравне с материальными частицами.

Классическая электродинамика, основанная на уравнениях Максвелла, лежит в основе многочисленных приложений электро- и радиотехники, СВЧ и оптики. До настоящего времени не было обнаружено ни одного эффекта, который потребовал бы видоизменения уравнений. Они оказываются применимы и в квантовой механике, когда рассматривается движение, например, заряженных частиц во внешних электромагнитных полях. Поэтому уравнения Максвелла являются основой микроскопического описания электромагнитных свойств вещества.

Уравнения Максвелла востребованы также в астрофизике и космологии, поскольку многие планетыи звезды обладают магнитным полем. Магнитное поле определяет, в частности, свойства таких объектов, как пульсары и квазары.

На современном уровне понимания все фундаментальные частицы являются квантовыми возбуждениями («квантами») различных полей. Например, фотон — это квант электромагнитного поля, а электрон — квант спинорного поля. Поэтому полевой подход, предложенный Фарадеем и существенно развитый Максвеллом, является основой современной физики фундаментальных частиц, в том числе ее стандартной модели.

Исторически несколько раньше он сыграл важную роль в появлении квантовой механики в формулировке Шрёдингера и вообще открытии квантовых уравнений, описывающих движение частиц, в том числе и релятивистских (уравнение Клейна-Гордона, уравнение Дирака), хотя первоначально аналогия с уравнениями Максвелла здесь виделась скорее лишь в общей идее, тогда как впоследствии оказалось, что она может быть понята как более конкретная и детальная (как это описано выше).

Также полевой подход, в целом восходящий к Фарадею и Максвеллу, стал центральным в теории гравитации (включая ОТО).

Запись уравнений Максвелла и системы единиц

Запись большинства уравнений в физике не зависит от выбора системы единиц. Однако в электродинамике это не так. В зависимости от выбора системы единиц в уравнениях Максвелла возникают различные коэффициенты (константы). Международная система единиц СИ является стандартом в технике и преподавании, однако споры среди физиков о её достоинствах и недостатках по сравнению с конкурирующей симметричной гауссовой системой единиц (СГС) не утихают. Преимущество системы СГС в электродинамике состоит в том, что все поля в ней имеют одну размерность, а уравнения, по мнению многих учёных, записываются проще и естественней.

Поэтому СГС продолжает применяться в научных публикациях по электродинамике и в преподавании теоретической физики, например, в курсе теоретической физики Ландау и Лифшица . Однако для практических применений вводимые в СГС единицы измерений, многие из которых неименованы и неоднозначны, часто неудобны. Система СИ стандартизована и лучше самосогласованна, на этой системе построена вся современная метрология. Кроме того, система СИ обычно используется в курсах общей физики. В связи с этим все соотношения, если они по-разному записываются в системах СИ и СГС, далее приводятся в двух вариантах.

Дифференциальная форма

Уравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырех уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных) линейных дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка для 12 компонент четырёх векторных функций ():

Название	СГС	СИ	Примерное словесное выражение
Закон Гаусса			Электрический заряд является источником электрической индукции.
Закон Гаусса для магнитного поля			Не существуетмагнитных зарядов. [~ 1]
Закон индукции Фарадея			Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле. [~ 1]
Теорема о циркуляции магнитного поля			Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

Жирным шрифтом в дальнейшем обозначаются векторные величины, курсивом — скалярные.

Введённые обозначения:

— плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³);

— плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²); в простейшем случае - случае тока, порождаемого одним типом носителей заряда, она выражается просто как , где — (средняя) скорость движения этих носителей в окрестности данной точки, ρ 1 - плотность заряда этого типа носителей (она в общем случае не совпадает с ρ); в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей;

— скорость света в вакууме (299 792 458 м/с);

— напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м);

— напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м);

— электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²);

— магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м² = кг.с −2 .А −1);

— дифференциальный оператор набла, при этом:

Означает ротор вектора,

Означает дивергенцию вектора.

Приведённые выше уравнения Максвелла не составляют ещё полной системы уравненийэлектромагнитного поля, поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбужденоэлектромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины , , , и и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.

Интегральная форма

При решении уравнений Максвелла распределения зарядов и токов часто считаются заданными. С учётом граничных условий и материальных уравнений это позволяет определить напряжённость электрического поля и магнитную индукцию , которые, в свою очередь, определяют силу, действующую на пробный заряд , двигающийся со скоростью .

Эта сила называется силой Лоренца :

СГС	СИ

Электрическая составляющая силы направлена по электрическому полю (если ), а магнитная — перпендикулярна скорости заряда и магнитной индукции. Впервые выражение для силы, действующей на заряд в магнитном поле (электрическая компонента была известна), получил в 1889 году Хевисайд за три года до Хендрика Лоренца, который вывел выражение для этой силы в 1892 году.

В более сложных ситуациях в классической и квантовой физике в случае, когда под действием электромагнитных полей свободные заряды перемещаются и изменяют значения полей, необходимо решение самосогласованной системы из уравнений Максвелла и уравнений движения, включающих силы Лоренца. Получение точного аналитического решения такой полной системы сопряжено обычно с большими сложностями.

Размерные константы в уравнениях Максвелла

В гауссовой системе единиц СГС все поля имеют одинаковую размерность, и в уравнениях Максвелла фигурирует единственная фундаментальная константа , имеющая размерностьскорости, которая сейчас называется скоростью света (именно равенство этой константы скорости распространения света дало Максвеллу основания для гипотезы об электромагнитной природе света).

В системе единиц СИ, чтобы связать электрическую индукцию и напряжённость электрического поля в вакууме , вводится электрическая постоянная ε 0 (). Магнитная постоянная является таким же коэффициентом пропорциональности для магнитного поля в вакууме (). Названия электрическая постоянная и магнитная постоянная сейчас стандартизованы. Ранее для этих величин также использовались, соответственно, названия диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума.

Скорость электромагнитного излучения в вакууме (скорость света) в СИ появляется при выводеволнового уравнения:

В системе единиц СИ, в качестве точных размерных констант определены скорость света в вакууме и магнитная постоянная . Через них выражается электрическая постоянная ε 0 .

Принятые значения скорости света, электрической и магнитной постоянных приведены в таблице:

Иногда вводится величина, называемая «волновым сопротивлением», или «импедансом» вакуума:

Ом.

Приближённое значение для получается, если для скорости света принять значение м/c. В системе СГС . Эта величина имеет смысл отношения амплитуд напряжённостей электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны в вакууме.

Уравнения Максвелла в среде

Чтобы получить полную систему уравнений электродинамики, к системе уравнений Максвелла необходимо добавить материальные уравнения, связывающие величины , , , , , в которых учтены индивидуальные свойства среды. Способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории поляризации, намагниченности и электропроводности среды, использующие идеализированные модели среды. Применяя к ним уравнения классической иликвантовой механики, а также методы статистической физики, можно установить связь между векторами , , с одной стороны и , с другой стороны.

Связанные заряды и токи

Слева : Совокупность микроскопических диполей в среде образуют один макроскопический дипольный момент и эквивалентны двум заряженным с противоположным знаком пластинам на границе. При этом внутри среды все заряды скомпенсированы;

Справа : Совокупность микроскопических циркулярных токов в среде эквивалентна макроскопическому току, циркулирующему вдоль границы. При этом внутри среды все токи скомпенсированы.

При приложении электрического поля кдиэлектрическому материалу каждая из его молекул превращается в микроскопическийдиполь. При этом положительные ядра атомов немного смещаются в направлении поля, а электронные оболочки в противоположном направлении. Кроме этого, молекулы некоторых веществ изначально имеют дипольный момент. Дипольные молекулы стремятся ориентироваться в направлении поля. Этот эффект называетсяполяризацией диэлектриков. Такое смещение связанных зарядов молекул в объёме эквивалентно появлению некоторого распределения зарядов на поверхности, хотя все молекулы, вовлечённые в процесс поляризации остаются нейтральными (см. рисунок).

Аналогичным образом происходит магнитная поляризация (намагнивание) в материалах, в которых составляющие их атомы и молекулы имеютмагнитные моменты, связанные со спином и орбитальным моментом ядер и электронов. Угловые моменты атомов можно представить в виде циркулярных токов. На границе материала совокупность таких микроскопических токов эквивалентна макроскопическим токам, циркулирующим вдоль поверхности, несмотря на то, что движение зарядов в отдельных магнитных диполях происходит лишь в микромасштабе (связанные токи).

Рассмотренные модели показывают, что хотя внешнее электромагнитное поле действует на отдельные атомы и молекулы, его поведение во многих случаях можно рассматривать упрощённым образом в макроскопическом масштабе, игнорируя детали микроскопической картины.

В среде сторонние электрические и магнитные поля вызывают поляризацию и намагничивание вещества, которые макроскопически описываются соответственно вектором поляризации ивектором намагниченности вещества, а вызваны появлением связанных зарядов и токов . В результате поле в среде оказывается суммой внешних полей и полей, вызванных связанными зарядами и токами.

Поэтому, выражая векторы и через , , и , можно получить математически эквивалентную систему уравнений Максвелла:

СГС	СИ

Индексом здесь обозначены свободные заряды и токи. Уравнения Максвелла в такой форме являются фундаментальными, в том смысле, что они не зависят от модели электромагнитного устройства вещества. Разделение зарядов и токов на свободные и связанные позволяет «спрятать» в , , а затем в и, следовательно, в сложный микроскопический характер электромагнитного поля в среде.

Материальные уравнения

Материальные уравнения устанавливают связь между и . При этом учитываются индивидуальные свойства среды. На практике в материальных уравнениях обычно используются экспериментально определяемые коэффициенты (зависящие в общем случае от частоты электромагнитного поля), которые собраны в различных справочниках физических величин.

В слабых электромагнитных полях, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и вовремени, в случае изотропных, неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред справедливо приближение, в котором поляризуемость и намагниченность линейно зависят от приложенных полей:

где введены безразмерные константы: — диэлектрическая восприимчивость и —магнитная восприимчивость вещества (в системе единиц СИ эти константы в раз больше, чем в гауссовой системе СГС). Соответственно, материальные уравнения для электрической и магнитной индукций записываются в следующем виде:

где — относительная диэлектрическая проницаемость, — относительная магнитная проницаемость. Размерные величины ε 0 ε (в единицах СИ — Ф/м) и μ 0 μ (в единицах СИ — Гн/м), возникающие в системе СИ, называются абсолютная диэлектрическая проницаемость иабсолютная магнитная проницаемость соответственно.

В проводниках существует связь между плотностью тока и напряжённостью электрического поля, выражаемая законом Ома :

где — удельная проводимость среды (в единицах СИ — Ом −1 .м −1).

В анизотропной среде ε, и являются тензорами , и . В системе координат главных осей они могут быть описаны диагональными матрицами. В этом случае, связь между напряжённостями полей и индукциями имеют различные коэффициенты по каждой координате.

Например, в системе СИ:

Хотя для широкого класса веществ линейное приближение для слабых полей выполняется с хорошей точностью, в общем случае зависимость между и может быть нелинейной. В этом случае проницаемости среды не являются константами, а зависят от величины поля в данной точке. Кроме того, более сложная связь между и наблюдается в средах с пространственной или временной дисперсиями. В случае пространственной дисперсии токи и заряды в данной точке пространства зависят от величины поля не только в той же точке, но и в соседних точках. В случае временной дисперсии поляризация и намагниченность среды не определяются только величиной поля в данный момент времени, а зависят также от величины полей в предшествующие моменты времени. В самом общем случае нелинейных и неоднородных сред с дисперсией, материальные уравнения в системе СИ принимают интегральный вид:

Аналогичные уравнения получаются в гауссовой системе СГС (если формально положить ε 0 = 1).

Уравнения в изотропных и однородных средах без дисперсии

В изотропных и однородных средах без дисперсии уравнения Максвелла принимают следующий вид :

СГС	СИ

В оптическом диапазоне частот вместо диэлектрической проницаемости ε используется показатель преломления (зависящий от длины волны), показывающий отличие скорости распространения монохроматической световой волны в среде от скорости света в вакууме. При этом в оптическом диапазоне диэлектрическая проницаемость обычно заметно меньше чем на низких частотах, а магнитная проницаемость большинства оптических сред практически равна единице. Показатель преломления большинства прозрачных материалов составляет от 1 до 2, достигая 5 у некоторых полупроводников. В вакууме и диэлектрическая, и магнитная проницаемости равны единице: ε = μ = 1.

Поскольку уравнения Максвелла в линейной среде являются линейными относительно полей и свободных зарядов и токов , справедлив принцип суперпозиции:

Если распределения зарядов и токов создают электромагнитное поле с компонентами , а другие распределения создают, соответственно, поле , то суммарное поле, создаваемое источниками , будет равно .

При распространении электромагнитных полей в линейной среде в отсутствие зарядов и токовсумма любых частных решений уравнений будет также удовлетворять уравнениям Максвелла.

Граничные условия

Во многих случаях неоднородную среду можно представить в виде совокупности кусочно-непрерывных однородных областей, разделённых бесконечно тонкими границами. При этом можно решать уравнения Максвелла в каждой области, «сшивая» на границах получающиеся решения. В частности, при рассмотрении решения в конечном объёме необходимо учитывать условия на границах объёма с окружающим бесконечным пространством. Граничные условия получаются из уравнений Максвелла предельным переходом. Для этого проще всего воспользоваться уравнениями Максвелла в интегральной форме.

Выбирая во второй паре уравнений контур интегрирования в виде прямоугольной рамки бесконечно малой высоты, пересекающей границу раздела двух сред, можно получить следующую связь между компонентами поля в двух областях, примыкающих к границе:

СГС	СИ
, ,	, ,

где — единичный вектор нормали к поверхности, направленный из среды 1 в среду 2 и имеющий размерность, обратную длине, — плотность поверхностных свободных токов вдоль границы (то есть не включая связанных токов намагничивания, складывающихся на границе среды из микроскопических молекулярных итп токов). Первое граничное условие можно интерпретировать как непрерывность на границе областей тангенциальных компонент напряжённостей электрического поля (из второго следует, что тангенциальные компоненты напряжённости магнитного поля непрерывны только при отсутствии поверхностных токов на границе).

Введение Максвеллом понятия тока смещения, привело к завершению созданной им макроскопической теории электромагнитного поля, которая позволяет с единой точки зрения объяснить не только электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существования которых было впоследствии подтверждено.

В основе теории Максвелла лежат 4 уравнения:

1. Электрическое поле может быть как потенциальным, так и вихревым, поэтому напряженность результирующего поля равна:

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля :

Получаем

Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует связь.

Для изотропных, несегнетоэлектрических и неферромагнитных сред запишем формулы связи:

где - электрическая постоянная, - магнитная постоянная,

Диэлектрическая проницаемость среды, m - магнитная проницаемость среды,

r - удельное электрическое сопротивление, - удельная электрическая проводимость.

Из уравнений Максвелла вытекает, что:

источником электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, которые могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (токами), либо переменными электрическими полями.

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе не существует магнитных зарядов.

Если и (стационарные поля), то уравнения Максвелла принимают следующий вид:

Источниками электрического стационарного поля являются только электрические заряды, источниками стационарного магнитного поля - только токи проводимости.

Электрическое и магнитное поле в данном случае независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

Дифференциальная форма записи уравнений Максвелла:

Интегральная форма записи уравнений Максвелла является более общей, если имеются поверхности разрыва. Дифференциальная форма записи уравнения Максвелла предполагает, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно.

Уравнения Максвелла – наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же важную роль, как и законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с переменным электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным полем, т.е. электрическое и магнитное поле неразрывно связаны друг с другом – они образуют единое электромагнитное поле.

Свойства уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей Е и В по времени и пространственным координатам и первые степени плотности электрических зарядов и токов j . Свойство линейности уравнений Максвелла связано с принципом суперпозиции, если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей.

Уравнения Максвелла содержат уравнения непрерывности, выражающие закон сохранения электрического заряда. Чтобы получить уравнение непрерывности необходимо взять дивергенцию от обеих частей первого из уравнений Максвелла в дифференциальной форме записи:

Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчета. Они являются релятивистки инвариантными. Это есть следствие принципа относительности, согласно которому все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг другу. Вид уравнений Максвелла при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не меняется, однако входящие в них величины преобразуются по определенным правилам. Т.е. уравнения Максвелла являются правильными релятивистскими уравнениями в отличие, например, от уравнений механики Ньютона.

Уравнения Максвелла несимметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в природе электрические заряды существуют, а магнитные заряды нет.

Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. При этом изменение его имеет обязательно волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. В вакууме они всегда распространяются со скоростью равной скорости света. Теория Максвелла предсказала существование электромагнитных волн и позволила установить все их основные свойства.

В случае стационарных (то есть неменяющихся во времени) электрического и магнитного полей, происхождение которых связано с покоящимися зарядами для электрического поля и со стационарными токами для магнитного поля, эти поля являются независимыми друг от друга, что позволяет рассматривать их отдельно друг от друга.

Уравнения Максвелла – это система уравнений, описывающих природу происхождения и свойства электрического и магнитного полей.

Уравнения Максвелла для стационарных полей:

Таким образом, уравнения Максвелла для стационарных полей :

I.; II. ;

III.; IV. .

Векторные характеристики электростатического поля исвязаны между собой следующим соотношением:

,

где – электрическая постоянная,  – диэлектрическая проницаемость среды.

Векторные характеристики магнитного поля и связаны между собой следующим соотношением:

,

где – магнитная постоянная, – магнитная проницаемость среды.

Тема 8. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

Согласно теории Максвелла для электромагнитного поля в случае нестационарных (то есть, изменяющихся во времени) электрического и магнитного полей, источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющееся во времени магнитное поле, а источниками магнитного поля могут быть либо движущиеся электрические заряды (электрические токи), либо переменное электрическое поле.

В отличие от стационарных полей переменные электрическое и магнитное поля не являются независимыми друг от друга и рассматриваются как электромагнитное поле.

Уравнения Максвелла, как система уравнений, описывающих природу происхождения и свойства электрического и магнитного полей в случае электромагнитного поля имеет вид:

I .
, то есть циркуляция вектора напряженности электрического поля определяется скоростью изменения вектора индукции магнитного поля (  скорость изменения вектора индукции ).

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

II .
, то есть поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхностьS , равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри объема V , ограниченного данной замкнутой поверхностью S (  объемная плотность заряда).

III .
, то есть циркуляция вектора напряженности по произвольному замкнутому контуруL определяется полным током I полн. , пронизывающим поверхность S , ограниченную данным контуром L .

полный ток I полн , складывающийся из тока проводимости I и тока смещения I см. , то есть I полн. = I + I см. .

Суммарный ток проводимости I определяется в общем случаечерез поверхностную плотность тока j (
)интегрированием, то есть

.

Ток смещения I см ,пронизывающий поверхность S , определяется в общем

случаечерез поверхностную плотность тока смещения
(
) интегрированием, то есть:
.

Введенное Максвеллом понятие «тока смещения», величина которого определяется скоростью изменения вектора электрического смещения , то есть величиной , показывает, что магнитные поля могут возбуждаться не только движущими­ся зарядами (электрическими токами проводимости), но и переменными электрическими полями.

IV .
, то есть поток вектора индукциимагнитного поля через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.

Уравнения Максвелла – наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т.е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом – они образуют единое электромагнитное поле.

Первое уравнение Максвелла определяет источники электрического поля. Электрические заряды создают вокруг себя электрические поля. Физический смысл этого уравнения состоит в том, что электрическое поле в некоторой области пространства связано с электрическим зарядом внутри этой поверхности.

Исходным для этого уравнения является уравнение Гаусса, которое говорит о том, что поток вектора через замкнутую поверхность S равен заряду q , заключенному в данной поверхности:

где ρ – объемная плотность заряда.

Для того чтобы получить дифференциальную форму, воспользуемся теоремой Гаусса-Остроградского, которая устанавливает связь между объемным и поверхностным интегралом:

Дивергенция (расходимость) векторного поля – величина мощности источника поля.

Дивергенция является скалярной величиной:

Второе уравнение Максвелла устанавливает для любых магнитных полей отсутствие свободных магнитных зарядов и то, что магнитные силовые линии всегда замкнуты. В интегральном виде этот факт записывается в виде уравнения:

Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю, поскольку магнитных зарядов одного знака в природе не обнаружено.

Применяя теорему Гаусса – Остроградского:

Третье уравнение Максвелла - это обобщение закона индукции Фарадея для диэлектрической среды в свободном пространстве

где Ф – поток магнитной индукции, пронизывающий проводящий контур и создающий в нем ЭДС.

ЭДС создается не только в проводящем контуре, но и в некотором диэлектрическом контуре в виде электрического тока смещения.

Физический смысл второго уравнения Максвелла состоит в том, что электрическое поле в некоторой области пространства связано с изменением магнитного поля во времени в этой области. Т.е. переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

Воспользуемся уравнением Стокса, которое преобразует контурный интеграл в поверхностный:

Данное равенство справедливо, если равны подынтегральные функции:

Четвертое уравнение Максвелла - это обобщение закона Ампера и Био-Саварра для токов смещения: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна полному току, пронизывающему этот контур.

Физический смысл первого уравнения Максвелла состоит в том, что магнитное поле в некоторой области пространства связано не только с токами проводимости, протекающими в этой области, но и с изменением электрического поля во времени в этой области (токами смещения).

Циркуляция вектора по контуру L равна сумме токов проводимости и смещения.

Получим дифференциальную форму уравнения Максвелла. Для этого воспользуемся уравнением Стокса, которое преобразует контурный интеграл в поверхностный:

Данное равенство справедливо, если равны подынтегральные функции:

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):

где и – соответственно электрическая и магнитная постоянная,

ε и μ – соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемость,

– удельная проводимость вещества.

Уравнение плоской электромагнитной волны (ЭМВ). Поперечный характер ЭМВ. Амплитудные и фазовые соотношения. Скорость распространения электромагнитных волн в средах. Энергия электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга.

Процесс распространения электромагнитных колебаний в пространстве называется электромагнитной волной . На электромагнитной волне колеблются векторы напряжённости во взаимно перпендикулярных плоскостях в одной фазе – они одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимальных значений.

Различают плоские, сферические, цилиндрические и другие волны. Простейшими из них являются плоские волны. Плоской называется волна, у которой поверхности равных фаз – параллельные плоскости. Если поверхности равных амплитуд совпадают с поверхностями равных фаз, то такая волна называется однородной .

В однородной волне векторы изменяются в пространстве только вдоль одного направления, перпендикулярно фазовому фронту этой волны и совпадающего с направлением ее распространения.

ЭМВ - это поперечные волны, т.е. векторы перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Исследуем плоскую ЭМВ, распространяющуюся в однородной нейтральной непроводящей среде с постоянными проницаемостями .

Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Гаусса на случай переменных процессов. Закон Гаусса связывает поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность S с зарядом Q, сосредоточенным внутри этой поверхности:

где dS = n0dS ; n0 – орт внешней нормали к поверхности S.

До Максвелла уравнение (1.40) рассматривалось только в применении к постоянным полям. Максвелл предположил, что оно справедливо и в случае переменных полей.

Заряд Q может быть произвольно распределен внутри поверхности S. Поэтому в общем случае

где ρ – объемная плотность зарядов; V - объем, ограниченный поверхностью S. Объемная плотность зарядов

где ΔQ – заряд, сосредоточенный в объеме ΔV. Размерность ρ – кулон на кубический метр (Кл/м3).

Подставляя (1.41) в (1.40), получаем

. (1.43)

Уравнение (1.43) обычно называют третьим уравнением Максвелла в интегральной форме. Для перехода к диффе­ренциальной форме преобразуем левую часть этого уравнения по теореме Остроградского-Гаусса (П. 19). В результате получим:

.

Это равенство должно выполняться при произвольном объеме V , что возможно только в том случае, если

divD = ρ. (1.44)

Соотношение (1.44) принято называть третьим уравнением Максвелла. В декартовой системе координат оно записывается в виде

.

Из равенства (1.44) следует, что дивергенция вектора D отлична от нуля в тех точках пространства, где имеются свободные заряды. В этих точках линии вектора D имеют начало (исток) или конец (сток). Линии вектора D начинаются на поло­жительных зарядах и заканчиваются – на отрицательных.

В отличие от вектора D истоками (стоками) вектора Е могут быть как свободные, так и связанные заряды. Чтобы показать это, перепишем уравнение (1.44) для вектора Е. Подставляя соотношение (1.4) в (1.44), получаем εоdiv Е = ρ – div P. Второе слагаемое в правой части этого равенства имеет смысл объемной плотности зарядов , возникающих в результате неравномерной поляризации среды (такие заряды будем называть поляризационными ):

divP = -. (1.45)

Поясним возникновение поляризационных зарядов на следующем примере. Пусть имеется поляризованная среда (рис. 1.8). Выделим мысленно внутри нее объем ΔV, ограниченный поверхностью ΔS. В результате поляризации в среде происходит смещение зарядов, связанных с молекулами вещества. Если объем ΔV мал, а поляризация неравномерная, то в объем ΔV с одной стороны может войти больше зарядов, чем выйдет с другой (на рис. 1.8 объем ΔVпоказан пунктиром). Подчеркнем, что поляризационные заряды являются "связанными" и возникают только под действием электрического поля. Знак минус в формуле (1.45) следует из определения вектора Р (см. 1.2.1).

Рис. 1.8. Поляризованная среда

Линии вектора Р начинаются на отрицательных зарядах и оканчиваются на положительных. С учетом формулы (1.45) приходим к соотношению εоdiv Е = ρ + ρp, из которого и следует сделанное выше утверждение, что истоками (стоками) линий вектора Е (силовых линий электрического поля) являются как свободные, так и связанные заряды.

Четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме сов­падает с законом Гаусса для магнитного поля, который можно сформулировать следующим образом. Поток вектора В через любую замкнутую поверхность S равен нулю, т.е.

.(1.46)

Это означает, что не существует линий вектора В, которые только входят в замкнутую поверхность S (или, наоборот, только выходят из поверхности S): они всегда пронизывают ее (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Линии вектора В, пронизывающие поверхность S

Уравнение (1.46) называют четвертым уравнением Максвелла в интегральной форме. К дифференциальной форме урав­нения (1.46) можно перейти с помощью теоремы Остроградского-Гаусса так же, как это было сделано в случае третьего уравнения Максвелла. В результате получим

divB = 0. (1.47)

Уравнение (1.47) представляет собой четвертое уравнение Макс­велла. Оно показывает, что в природе отсутствуют уединенные магнитные заряды одного знака. Из этого уравнения также следует, что линии вектора В (силовые линии магнитного поля) являются непрерывными.